Некоторые свойства нормальных и полунормальных функторов в категориях P и Comp

• Автор: Добрынина, Мария Александровна
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 70 с.

Содержание
Введение

1 Глава первая. Некоторые свойства полунормальных функторов в категории Сотр.

1.1 О функторах экспоненциального типа

1.2 Функтор суперрасширения и функтор полных сцепленных систем

1.3 Нормальные функторы и некоторые свойства носителей.

1.4 Пространство максимальных З-сцепленных систем

1.5 О носителях максимальных сцепленных систем

1.6 О максимальных сцепленных системах со связными носителями

1.7 О степенных спектрах полунормальных функторов

2 Глава вторая. Нормальные функторы в категории V.
2.1 Функтор ехрс в категории паракомпактных р-пространств . .
2.2 Замечания о метризуемости паракомпактных р-пространств. . .
2.3 Определение нормального функтора в категории V
2.4 Некоторые свойства нормальных функторов в категории V
2.5 О теореме Федорчука в категории V
Виедышс

Введение
Изучение геометрических свойств ковариантных функторов является одним из центральных направлений в современной общей топологии. Исследования в этой области в последние годы проводились многими авторами. К первым исследованиям в этой области можно отнести теорему 1923 года Важевского-Вьсториса [34],[33] о том, что локальная связность метризусмого континуума эквивалентна локальной связности пространства его непустых замкнутых подмножеств с топологией Вьеториса — пространства ехр(Х). Изучению пространства ехр(Х) были посвящены многие работы в 30-е - 50-е годы, носившие, однако, фрагментарный характер. В качестве самостоятельного направления эти исследования оформились только после работы Майкла 1951 года [29].
В 1981 году Е.В. Щепин [18], обобщая полученные ранее результаты [19], ввёл в общую топологию понятие нормального функтора, тем самым положив начало новому направлению в общей топологии. Затем В.В.Федорчук ввел класс полунормальных функторов, являющийся обобщением класса нормальных функторов. Полупормальным функтором, в частности, является известный функтор суперрасширения, который не удовлетворяет свойству сохранения прообразов и поэтому не является нормальным функтором. Пространство суперраснгарения А(Х) всех максимальных сцепленных систем пространства X впервые было рассмотрено Де Гроотом в 1969 году [24]. Исследования, начатые Де Гроотом, были продолжены в работах ван дэ Велла [32], ван Мил-ла [25], М.М.Заричного [5], А.В.Иванова |6| и некоторых других топологов.
Так, например, в 1983 году Ван Милл [25] рассмотрел пространство максимальных k-сцепленных систем компактаХ — пространство Afc(X), а также показал, что при к > 2 пространство А^(Х) может быть некомпактно.
Наряду с функтором суперрасширения А также рассматривают функтор полных сцепленных систем N, обладающий многими замечательными свойствами суперрасширения. A.B. Иванов в 1986 в работе [6] определил Nk(X) как пространство полных k-сцеплонных систем, и в работе [10] доказал, 4toA^(X) всюду плотно в Агк(Х) для любого компакта X без изолированных точек. Изучению свойств пространства суперрасширения также посвящена статья
Введение

Е.В. Вакуловой [3], в которой был приведен пример максимальной сцепленной системы £ из супсррасширения пространства X с носителем, совпадающим с X в случае, когда X является отрезком [0,1].
В 1948 году М. Катетов [26] доказал известную теорему о том, что из наследственной нормальности куба компакта следует его метризуемость, а также сформулировал проблему о метризуемости компакта, квадрат которого наследственно нормален. В 1977 году Никошем [31] в предположении аксиомы Мартина и отрицании континнуум-гипотезы МАч—>СН был построен пример неметризуемого компакта с наследственно нормальным квадратом. В 1993 году Грюнхаге [23] в предположении континуум-гипотезы СН построил пример неметризуемого компакта Y, для которого Y2 наследственно сепарабельно, К2Д совершенно нормально и Y2 наследственно нормально. Таким образом, Никош и Грюнхаге в некоторых моделях теории множеств дали отрицательный ответ на проблему Катетова. В 2002 году Ларсон и Тодорчевич [28] с помощью форсинга построили модель теории множеств, в которой всякий компакт, квадрат которого наследственно нормален, метризуем, то есть в этой модели теории множеств ответ на проблему Катетова положителен.Тем самым Ларсон и Тодорчевич доказали независимость проблемы Катетова от системы аксиом ZFC.
В 1989 году В.В. Федорчук [16] обобщил теорему Катетова для нормального функтора степени ^ 3, действующего в категории Сошр компактов и их непрерывных отображений. Проблема Катетова также имеет аналог для полунормальных функторов: верно ли, что из наследственной нормальности J-k{X), где к — второй по величине элемент степенного спектра полунормаль-ного функтора Т, следует метризуемость XI В связи с этим, в 2008 году A.B. Иванов и Е.В. Кашуба [11] построили пример неметризуемого компакта, обобщающий пример Грюнхаге и удовлетворяющий следующим свойствам:
1) Хп наследственно сепарабельно для любого натурального п;
2) Хп Л,г совершенно нормально для любого натурального п (где Дп — обобщенная диагональ Хп, то есть множество точек, у которых хотя бы две координаты совпадают);
3) для любого сохраняющего вес и точки взаимной однозначности полу-нормального функтора X пространство J-k(X) наследственно нормально, где
Глава первая. §1.

Положим £° = {П’г}“1. Система £° может быть достроена до некоторой максимальной сцепленной системы £.
Легко проверить, что множества Рп являются минимальными по включению элементами системы £. Следовательно, эирр(^) = X.
Пусть г] = А/(£), /(Д) = Ф*. Тогда из построения Пп и выбора точек ri следует, ЧТО ДЛЯ любого элемента Ф € Г], Ф содержит либо Фх, либо Ф2, либо Ф3. Тогда
зирр(77) = [ и ф?] = {/(го), /(с), /(Из)}
*=1,2,
— несвязное подмножество пространства У.
Предложение 13 доказано.

Теорема 3. Пусть компакт X является связным и сепарабельным. Тогда множество максимальных сцепленных систем со связными носителями всюду плотно в суперрасширепии А(Х).
Доказательство. Пусть 0(£/х,— произвольное базисное открытое в А(Х) множество. Докажем, что существует максимальная сцепленная система с конечным носителем С лежащая в 0(ПЬ ..., {/„).
Без ограничения общности можно считать, что п ^ 3 и что пересечение П{£/ : г = 1,...,гг} = 0. Иначе возьмем х е П{Пг : г = 1,...,п}. Тогда максимальная сцепленная система со связным носителем = {Т : х £ П, Р замкнуто в X} лежит в ..., Пп).
Так как пространство X связно, то это пространство не имеет изолированных точек, и в каждом пересечении Щ П £Д- при i ф j можно выбрать по точке х*■ так, чтобы все они были различны. Объединение всех выбранных точек, лежащих в обозначим за Фг. Тогда система £о — {Фг : г = 1, очевид-
но, сцеплена. Дополним ее до максимальной в пределах множества Ц^Ф* (то есть подмножествами этого множества) и возьмем ее пополнение £. Мы получим максимальную сцепленную систему с конечным носителем, лежащую в
0(их,...,ип).
Так как система £ — максимальная, в ней найдутся такие минимальные по включению элементы (обозначим их за Р и ИД и точка уо £ Т) , что