Мотивное интегрирование и инварианты алгебраических узлов

• Автор: Горский, Евгений Александрович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 105 с. : ил.

1. Введение

2. Мотивные мары

2.1 Кольцо Гротендика многообразий

2.2 Мотивные меры и мотивные интегралы

2.3 Формула замены переменных и следствия из нее

2.4 Число Милнора и дзета-функция особенности

3. Функциональные уранеяия

3.1 Уравнения

3.2 Примеры

3.3 Симметрии

3.4 Дополнительные параметры

3.5 Функциональное уравнение для индексов пересечения
4. Соответствие между функциями и кривыми
4.1 Степенные структуры
4.2 Соответствие мер
4.3 Соответствие эйлеровых характеристик
5. Мотивный ряд Пуанкаре
5.1 Ряд Пуанкаре и его обобщения
5.1.1 Ряд Пуанкаре особенности плоской кривой
5.1.2 Мотивный ряд Пуанкаре
5.1.3 Неприводимый случай
5.1.4 Формула Кампильо, Дельгадо и Гусейн-Заде
5.2 Пример: неособая кривая
5.3 Комбинаторика
5.3.1 Предварительные упрощения
5.3.2 Приведение подобных слагаемых
5.3.3 Алгоритм
5.4 Примеры
5.4.1 Один дивизор
Оглавление З
5.4.2 Два дивизора
5.4.3 Три дивизора
5.5 Симметрии и функциональные уравнения
5.5.1 Симметрии
5.5.2 Аналог уравнения Капранова для кривых с проколами
6. Гомологии Хегора-Флосра
6.1 Определение, структура и свойства
6.1.1 Относительные БрітГ-структуры
6.1.2 Диаграммы Хегора
6.1.3 Определение гомологий
6.1.4 Свойства
6.2 Связь с мотивным рядом Пуанкаре
6.2.1 Сравнение ответов
6.2.2 Сравнение фильтрованных комплексов
6.2.3 Примеры
1. ВВЕДЕНИЕ
Настоящая диссертация посвящена вычислению и описанию свойств мо-тивных интегралов, связанных с инвариантами особых точек плоских комплексных алгебраических кривых. Эти интегралы связаны как со структурой нормирований на локальной алгебре особенности, изучавшихся ещё в работах О. Зарисского, так и с топологическими инвариантами алгебраических узлов - многочленом Александера и гомологиями Хегора-Флоера, введёнными П. Ожватом и 3. Сабо сравнительно недавно.
Мотивное интегрирование было введено М. Л. Концевичем в 1995 году для доказательства гипотезы Ватырева о совпадении чисел Ходжа у бирационалыго эквивалентных многообразий Калаби-Яу. Вскоре после этого Я. Денеф и Ф. Лозер ввели мотивную меру на пространстве дуг на многообразии и доказали для него формулу замены переменных в полной общности, а также связали мотинные интегралы с р-адическими.
С другой стороны, в 1994 году А. Кампильо, Ф. Дельгадо и К. Кийек при исследовании наборов нормирований на локальной алгебре особенности, определяемых неприводимыми компонентами, ввели понятие ряда Пуанкаре мультииндексиой фильтрации и установили свойство симметрии для этого ряда. Затем в серии работ А. Кампильо, Ф. Дельгадо и С. М. Гусейн-Заде обнаружили и доказали связь этого ряда Пуанкаре с топологическими инвариантами особенности. Пересечение комплексной кривой со сферой малого радиуса — это узел или зацепление, для которого определён многочлен Александера. Оказывается, ряд Пуанкаре фильтрации на локальной алгебре с точностью до множителя совпадает с этим полиномом Александера, что, в частности, даёт эффективный геометрический способ его вычисления.
Метод доказательства теоремы Кампильо- Дельгадо-Гусейн-Заде основан на интегрировании но эйлеровой характеристике, введенном О. Я. Виро. Ряд Пуанкаре оказывается равным некоторому интегралу по эйлеровой характеристике по нроективизации пространства функций. В последующих работах было предложено естественное обобщение этого интеграла — мотивный интеграл по пространству функций, конструкция которого аналогична конструкции Концевича. Вычислению обобщённого
4. Соответствие между функциями л кривыми

Лемма 8: Пусть 71 7*- — набор различных дуг, рассмотрим линейное отображение
ev-r ■■ О -> ®L0Oc,o, / ~ (/(7l(t)), • ■ •, /ЫО))-
Пусть /i - число Милнора функции, задающей объединение 7 этих дуг, J(7) = |(д + А: — 1). Тогда коразмерность образа ен7 равна <5(7).
Эта лемма следует из результатов [52].
Для (вообще говоря, приводимой) кривой, заданной уравнением /(ж, у) — 0, с параметризациями 71 (t),, 7k{t) ее компонент, положим
Pi(y) = min{Orc/0(“(7.'W)). Ог Теорема 9: Пусть М С - измеримое подмножество, N = Z~1(M). Тогда
р(ЛГ)=
где 5(7) определено в предыдущей лемме.
Доказательство. Не нарушая общности, можно считать, что порядки кривых в М постоянны и равны mi mтогда порядок каждой функции / 6 N равен m = Xn=im;- Кроме того, можно считать, что и 5{"f) постоянно на М.
Рассмотрим отображение С из пространства п.-струй функций в пространство всевозможных наборов (тщп —Pj)-струй дуг, переводящее многочлен / в набор соответствующих струй его образа Z(f). Докажем, что для достаточно больших п образ этого отображения совпадает с множеством тг(М) наборов соответствующих струй наборов дуг из множества М.
Если (7i,... ,7*) = ■£(/)> /1 = МЛ, то n-струи функций / и fL совпадают, поэтому по лемме 7 существуют дуги (71 7jt), такие, что /1(7;) = о и jmin~pAji) = jmtn—p, (7*)’ Поэтому C(/i) совпадает с проекцией набора (71 7fc).
Если / лежит в множестве N, то (71 7к) принадлежит М, поэтому С(жп{Л) принадлежит -тг(М). Обратно, если (71 7*,) £ М, и {/ = 0} задает этот набор дуг, то 7г(7ь... ,7jt) = С(кп(Л) е C(MN))- Таким образом,
С(тгп(Л0) == *г(М).
Опишем слои отображения Q. Из доказательства леммы 7 следует, что jmn(/(7о)) = 0 тогда и только тогда, когда существует дуга 70 такая, что /(70) = 0 и j„, (70) = jni(7o)-