Топологии раздельной непрерывности

• Автор: Гриншпон, Яков Самуилович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Томск
• Количество страниц: 72 с. : ил.

Терминология и обозначения

1 Свойства типа компактности топологий раздельной непрерывности

§1. Локально крестовые и сильно локально крестовые множества

§2. Свойства типа компактности

§3. Финальная компактность и линделефовость

§4. Полнота по Чеху

2 Свойства типа нормальности для топологий раздельной непрерывности

^ §1. Необходимое условие нормальности

§2. Достаточное условие свойств типа нормальности

§3. Критерий нормальности

3 Топологии раздельной непрерывности на произведении ординалов

§1. Основные необходимые сведения об ординалах
§2. Диагональ на квадрате отрезка ординалов
§3. Свойства типа нормальности
§4. Счетная слабая паракомпактность
ф Литература

При рассмотрении функций многих переменных в математическом анализе есте-^ ственным образом возникает два понятия непрерывности: непрерывность по каждой из переменных в отдельности (раздельная непрерывность) и непрерывность по совокупности всех переменных (совместная непрерывность). Отметим, что оба этих понятия не требует наличия дополнительной структуры на области определения отображений, т.е. на декартовом произведении пространств. Действительно, пусть (Х,рх), (У, ру) и р2) — метрические пространства. Тогда отображение / : X х У -* Z называют совместно непрерывным (раздельно непрерывным) тогда и только тогда, когда для любых элементов а € X и Ь 6 У и любого положительного числа е существует положительное число 6 такое, что для всех элементов х € X и у £ У, удовле-творяющих условиям рх{а,х) <5 и ру{Ь,у) < 5, выполняется рг(}{х, у),/(я, Ь)) < е 0Д/(а,2/),/М)) < £ и рг(/(х,Ь)Ла,Ь)) < £ ).
При этом совместная непрерывность путем задания дополнительной структуры на произведении пространств сводится к обычному понятию непрерывности. В случае метрических пространств такой структурой является любая из эквивалентных метрик Рхху((*1,2/1)»(*2.3/2)) = Рх(хих2) + Рг(УиУ2), Рхху((х1,У1),{х2,Уг)) = тзх{рх(х1,х2У, ру(уиу2)} или рххуЦхиУг), (х2,у2)) = /р2х(хъх2) + Ру(УиУ2)- Эти метрики удовлетворяют условию: отображение / : (X, рх)х (У, Рг) (Д Рг) совместФ но непрерывно тогда и только тогда, когда отображение / : (X х У, Рхху) (У, Рг) непрерывно.
Однако в рамках теории метрических пространств оказывается невозможным та-

ким же образом свести понятие раздельной непрерывности к обычному понятию непрерывности. Топологии же раздельной непрерывности позволяют изучать раздельно непрерывные отображения, заданные на произведении топологических пространств, как непрерывные отображения относительно этих новых топологий.
Для полноты изложения приведем определения топологий раздельной непрерывности X ®У и Х®У в той форме, которая будет использоваться в данной диссертации. Пусть X и У — топологические пространства. На их декартовом произведении X хУ определяется топологическое пространство X ®У следующим образом: множество (7 С X х У открыто в X ® У тогда и только тогда, когда для любых а £ X и Ь £ У сечения
Си = {у ^ У; (а, у) £ 6} и С*ь — {х £ Х (х,Ь) £ (3} открыты в пространствах У и X соответственно.
Рассмотрим теперь семейство всех вполне регулярных топологий на множестве X х У, которые слабее топологии пространства X <8> У, и через X ®У обозначим множество X х У, наделенное слабейшей топологией, которая сильнее всех топологий из рассматриваемого семейства.
Основные характеристические свойства введенных топологий, оправдывающие используемые в диссертации названия "топология раздельной непрерывности "и "вполне регулярная топология раздельной непрерывности", формулируются следующим образом:
- для любых топологических пространств X, У и X отображение / : X х У -*• У раздельно непрерывно тогда и только тогда, когда отображение / : X ® У -> X непрерывно;
- для любых вполне регулярных пространств X, У и X пространство Х®У вполне регулярно и отображение / : X х У -» X раздельно непрерывно тогда и только тогда, когда отображение / : X ®У -> Z непрерывно.
Топологии раздельной непрерывности исследовались крайне мало. Топология пространства X®У приводится в качестве примера топологии, которую можно определить на произведении любых топологических пространств (или даже более общих
Глава
Топологии раздельной непрерывности на произведении ординалов
§1. Основные необходимые сведения об ординалах
Под ординалами мы будем понимать порядковые типы вполне упорядоченных множеств. Так как любое множество ординалов можно естественным образом упорядочить, то для ординалов мы будем употреблять обычные обозначения открытых, замкнутых и полуоткрытых промежутков. В то же время, существует и другой распространенный подход к определению ординалов, в котором ординал — это множество, каждый элемент которого транзитивен ([1], глава 1, § 5). С точки зрения этого подхода ординалом Л является множество, которое можно отождествить с вполне упорядоченным множеством порядковых типов, меньших порядкового типа Л. Поэтому, говоря про ординал Л, как про некоторое множество, мы будем подразумевать инициальный интервал порядковых типов [0; Л) или любое другое порядково изоморфное этому интервалу множество.
В данной главе будут рассматриваться произведения ординалов, наделенные топологиями раздельной непрерывности, т.е. пространства вида [0; Л) ® [0; /г) и [0; Л) ® [0; д), где Аид — некоторые ординалы.