Обобщенно-касательные структуры на многообразиях

• Автор: Кирсанова, Тамара Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 119 c. : ил

ГЛАВА I. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МНОГООБРАЗИЯ С ОБОБЩЕННО-КАСАТЕЛЬНОЙ СТРУКТУРОЙ § 1.1. Определение обобщенно-касательной структуры и ее свойства

§ 1.2. Случай интегрируемой обобщенно-касательной структуры

§ 1.3. Голоморфно-проективные преобразования

связности в многообразии с обобщеннокасательной структурой

Г Л А В А 2. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МНОГООБРАЗИЯ С ПОЛУКАСАТЕЛЬНОЙ СТРУКТУРОЙ § 2.1. Определение полукасательной структуры

§ 2.2. Лифты тензорных полей в полукасательном

расслоении

§ 2.3. Связности на многообразии с полукасательной структурой

§ 2.4. Горизонтальные лифты тензорных полей и

связностей

§ 2.5. Примеры связностей в полукасательном

расслоении
ГЛАВА 3. ГОЛОМОРФНО-ПРОЕКТИВНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
И ИНВАРИАНТНЫЕ ОБЪЕКТЫ § 3.1. Голоморфно-проективные преобразования
связности в полукасательном расслоении
§ 3.2. Объекты Томаса. Тензор голоморфно-

проективной кривизны
§ 3.3. Голоморфно-проективно-плоское пространство
§ 3.4. Инфинитезимальные голоморфно-проективные преобразования в полукасательном расслоении
ЛИТЕРАТУРА

В настоящее время дифференциальная геометрия активно занимается изучением дифференцируемых многообразий, снабженных различными геометрическими структурами, в частности, алгебраическими, т.е. изоморфно представляющими некоторую алгебру. К структурам такого типа относится обобщенно-касательная структура - самая общая нильпотентная аффинорная структура класса нильпотентности 2, порождающая на многообразии структуру представления алгебры дуальных чисел.
Изучению многообразий со структурами, определяемыми алгебрами, посвящено большое количество работ. Обзор полученных в этой области результатов дан в работах А.П.Широкова [*54-5б]. За последние годы геометрия алгебраических структур получила значительное развитие, в основном, благодаря работам П.А.Широкова [47,48],
А.П. Бордена [29,31,32], А .П. Широкова [51-53,57], В.В .Вишневского [2-и] , Г.И.Кручковича [21-2б] , Б.А.Розенфельда [зб-Зэ] и их учеников.
Наряду с этим появление работ японских математиков Сасаки,
) положило начало изучению
Яно, Ишихары, Кобаяси (см.[79,80,81 касательных расслоений дифференцируемых многообразий. В этих работах определяются отображения алгебры тензорных полей дифференцируемого многообразия в алгебру тензорных полей касательного расслоения этого многообразия. С помощью таких отображений строятся вертикальный, полный, горизонтальный лифты тензорных полей.
В касательном расслоении определяется связность, являющаяся полным лифтом связности на базе [79]. Кроме этого было выяснено, что в касательных расслоениях возникают различные геометрические структуры. Некоторые из этих структур тесно связаны с алгебрами.
В недавней обзорной статье А.П.Широкова [бв] подведены итоги ра-

ГЛАВА 2. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МНОГООБРАЗИЯ С ПОЛУКАСАТЕЛЬНОЙ СТРУКТУРОЙ
§ 2.1. Определение полукасательной структуры
2.1.1. Рассмотрим И-мерное дифференцируемое расслоение (Х,Р>6) над П -мерной базой В , определяемое субмерсией р: Х~*" В ♦ Пусть Ц- - координатная окрестность (Хл, хА> - локальные координаты точки х <=: р~1([1) , где
СС оС
6С - слоевые ( 61 = Ч-1П )г X - базисные координаты
этой точки (П-лг+Д 11). Слои определяются фиксацией базисных координат X* = соп$1 > а локальные координаты определены с точностью до допустимых преобразований
ха = X?) , Х'*'-

(2.1)
с невырожденной матрицей Якоби
Т У и V
Пусть I х А - касательное пространство в точке х ^ А и
/> х - вертикальное подпространство I х X , состоящее из векторов, касательных к слою расслоения . Будем
считать, что касательные векторы V ~ Vй
точке х в разложении по натуральному репе-ру эквивалентны, если они имеют одинаковую проекцию на базу О , т.е. — и*' . Рассмотрим фактор-пространство по заданному
отношению эквивалентности. Очевидно, что /хХуХлх размерности Пъ изоморфно касательному пространству к базе В расслоения (Х>р, В) • Обозначим через X объединение всех фактор-пространств, т.е. X— У "ТхХ/Лх. В X естественным образом вводится структура гладкого п+П-мерного многообразия, согласованная с координатной структурой многообразия X . Пусть - координатная окрестность некоторой карты с
локальными координатами V и