So-множества и их приложения

• Автор: Аль Баяти Джелал Хатем Хуссейн
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 73 с.

Оглавление
Введение

Глава 1. БО-множества

§1. Свойства ЭО-множеств

§2. Соотношения между БО- множествами и другими обобщениями

открытых множеств

§3 Топологическое удвоение 80-множеств

§4. Топология, порожденная 80-множествами

Глава 2. Приложения 80-множеств

§1. С-компактные и СБО-компактные пространства

§2. 80-паракомпактные пространства

§3. СЭО-паракомпактные пространства
Глава 3. Слабые и сильные формы эо-непрерывных отображений
§1. Просто-непрерывные отображения
§2. Продолжение эс-отображений
Список литературы
Работы автора, опубликованные по теме диссертации

ВВЕДЕНИЕ
В работе изучается понятие просто-открытого множества и основанные на нем обобщения основных классов топологических пространств и непрерывных отображений.
Подмножество А пространства X называется просто-открытым (или so-множеством), если A = o^>N, где О открыто, а N нигде не плотно (nwd). При этом не исключается, что любое из множеств О, или N может быть пустым. Напомним, что множество N называется нигде не плотным, если внутренность замыкания этого множества пусто: int[iv]=^. (Всюду в данной работе замыкание множества обозначается квадратными скобками).
Следует заметить, что подмножество пространства X является простооткрытым тогда и только тогда, когда его граница нигде не плотна в X.
Отображение f :Х —>Y топологического пространства X в топологическое пространство Y называется просто-непрерывным, если прообраз f~'(V) любого открытого множества V е Y просто-открыт в X.
Понятие просто-открытого множества и основанное на нем понятие просто-непрерывного отображения ввел N.Biswas в [24]. Простонепрерывные отображения будем называть также sc-отображениями.
Ранее Н.Левин (N.Levine) в [43] ввел понятия полуоткрытого множества и полунепрерывного отображения.
Подмножество А пространства X называется полуоткрытым, если существует такое открытое множество О, что Ос: А с: [о]. Полузамкнутое множество определяется как дополнение к полуоткрытому.
Отображение называется полунепрерывным, если прообраз всякого открытого множества есть полуоткрытое множество.

Целью работы является систематическое изучение просто-открытых и в частности, полуоткрытых множеств, а также основанных на них обобщений основных классов топологических пространств и непрерывных отображений.
Диссертация состоит из введения и трех глав.
Первая глава состоит из четырех параграфов
В первом параграфе изучаются и систематизируются свойства просто-открытых множеств и операций над ними. В частности, те свойства, совокупность которых позволяет утверждать, что семейство всех просто-открытых множеств является полем. Упомянем также следующие утверждения.
Предложение 1.1.11. Произведение двух so-множеств есть SO-множество.
ТЕОРЕМА 1.1.18. Пусть S - подмножество пространства (Х,Т). Тогда следующие условия эквивалентны:
(a) S есть просто-открытое множество
(b) Int[S] с [int(S)].
ТЕОРЕМА 1.1.22. Каждое просто-открытое множество обладает свойством Бэра.
О. Njastad в [57] ввел понятие а-множества. Подмножество S пространства (Х,Т) называется а-множеством если Sc int [int S] . Семейства а-множеств в (Х,Т), будут обозначаться через T“ . Njastad [57] показал, что T“ есть топология на X со следующими свойствами: Т czT“ , (Т“)а = Та и S е Та тогда и только тогда, когда всякое nwd-множество в (Х,Т) замкнуто.
Andrijevic заметил, что SO(X,T)=SO(X,T“) и что NcX есть nwd в (Х,Т°) тогда и только тогда, когда N есть nwd в (Х,Т). Таким образом, мы имеем следующее предложение:
Лемма 2.2.6 (11.Еп§е11а1^). Граница всякого открытого множества есть нигде не плотное множество.
Теперь дадим основное определение этого параграфа.
Определение 2.2.7. Пространство (X; Т) называется просто-паракомпактным (или яо-паракомпактным), если во всякое его открытое покрытие можно вписать локально конечное покрытие, состоящее из просто-открытых множеств.
Очевидно (в силу известного результата Майкла), для регулярных пространств понятие просто-паракомпактного пространства совпадает с понятием паракомпактного пространства в обычном смысле. Поэтому все утверждения, касающиеся просто-паракомпактных пространств, представляют интерес только для нерегулярных пространств.
Предложение 2.2.8. Всякое замкнутое подпространство яо-паракомпактного пространства яо-паракомпактно.
Доказательство. Пусть X есть яо-паракомпактное пространство, Г - его замкнутое подпространство и пусть у= {Уа:аеА} - произвольное покрытие ^ открытыми в /г множествами. Тогда для каждого Уа е у существует такое открытое в X множество иа, что Уа - иа п У. Рассмотрим открытое покрытие со пространства X, состоящее из всех таких множеств иа, а е А и множества и = X У .Так как пространство X является яо-паракомпакт-ным, то мы можем вписать в покрытие со локально конечное покрытие р, состоящее из яо-множеств. Рассмотрим покрытие подпространства У множествами вида СпТ, О ер; обозначим его через X. Пересечение яо-множества с замкнутым множеством есть яо-множество, поэтому элементы покрытия X являются яо-множествами (не только по отношению к но и по отношению ко всему пространству X). Убедимся в том, что