Комбинаторика параллелоэдров и ее связь с гипотезой Вороного

• Автор: Магазинов, Александр Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 106 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ

ГЛАВА 1. Введение

1.1. Параллелоэдры, условия Минковского-Венкова и гипотеза Вороного

1.2. Основные понятия

1.3. Ключевые результаты теории параллелоэдров

1.4. Основные результаты диссертации

1.5. План диссертации

ГЛАВА 2. Локальная структура разбиения на параллелоэдры

2.1. Определения и основные результаты главы

2.2. Локальная структура граней разбиения, имеющих коразмерность три
2.3. Свойства граней параллелоэдров коразмерности три
2.4. Верхняя оценка степени грани разбиения данной коразмерности
ГЛАВА 3. Удлинения параллелоэдров
3.1. Параллелоэдры, свободные вдоль векторов
3.2. Необходимое и достаточное условие свободы параллелоэдра вдоль вектора
3.3. Параллелоэдры, свободные вдоль векторов, и гипотеза Вороного
3.4. Послойная конструкция разбиения
3.5. Свободные и совершенные свободные пространства
3.6. Двумерные свободные пространства параллелоэдров Вороного
ГЛАВА 4. Гипотеза Вороного для удлинений параллелоэдров Вороного
4.1. Основные результаты главы

4.2. Дополнения к основным результатам главы и план доказательства Теорем 4.1и 4.
4.3. Операция обобщенного удлинения параллелоэдров Вороного
4.4. Шаг индукции для Теорем 4.2 и 4.
4.5. Шаг индукции для Теоремы 4.
Список использованных источников

ГЛАВА
ВВЕДЕНИЕ
1.1. Параллелоэдры, условия Минковского-Венкова и гипотеза Вороного
В данной диссертации изучаются такие разбиения аффинного пространства Мй на выпуклые многогранники, что существует группа трансляций (параллельных переносов), действующая транзитивно на ячейках разбиения. Иначе говоря, рассматриваются разбиения, правильные относительно некоторой группы трансляций.
Для точечного множества X и вектора 4 в пространстве обозначим через X + Ь параллельный перенос (транслят) множества X на вектор 4.
Параллелоэдром (см. [15]) называется выпуклый многогранник Р, допускающий разбиение грань-в-грань пространства Ж'* своими транслятами (параллельными копиями). Т.е. для Рмерного параллелоэдра Р существует такое множество транслятов
Т(Р) = {Р + 1*:» = 0,1,2,..., Г0 = 0}, (1.1)

(Т1) и СР + и) = ка

(Т2) ге1 нй;(Р + ^) П ге1 т4(Р + 1;;-) = 0 при г у;
(ТЗ) Пересечение (Р + ^) П (Р + ^) пусто, или является гранью каждого из многогранников (Р + ^) и (Р+ !,■).
В дальнейшем через Т(Р) будем обозначать именно разбиение вида (1.1) со свойствами (Т1) - (ТЗ).
Пусть Р — Рмерный параллелоэдр. Тогда (см., например, [35]) множество векторов трансляций, совмещающих Р с какой-либо ячейкой разбиения Т(Р) (т.е. множество в формуле (1.1)) является ^-мерной
решеткой. Будем обозначать эту решетку через Л(Р).

Следовательно, (см., например, [18]) семейство транслятов симметризаций Минковского
(!(— соп,уТ>(Е)) + сопу Т>(Е) + t : t € Ла№(.Е)}
также образует упаковку.
Таким образом, трехмерный объем многогранника |(—сопуТ>(Е)) + ^сопуЕ(Е) не превосходит фундаментального объема решетки Лаа(Е), т.е. верно неравенство
V (К-сопу V{E)) + |сопу V{E)) < У(АаП{Е)), (2.8)
где в левой части стоит объем трехмерного множества, а в правой — фундаментальный объем решетки Лая(-Е).
Разделив обе части неравенства (2.8) на У(А(Е)) и рассмотрев обратные величины, получаем
■ : £ У«-«, ^т£отЩЕ)У (2-9)
Если веер Рап(Е') имеет тип Ь), с), с1) или е) на рис. 1.3, то в правой части неравенства 2.9 стоит число 3/2, 12/7, 3/2 или 1 соответственно. Поскольку индекс (Аа^(Е) : А(Е)) — натуральное число, то имеется единственная возможность — (Ла^(Е) : А(Е)) = 1.
Пусть теперь веер Рап(.Е) имеет тип а) на рис. 1.3, т.е. многогранник сопуТ>{Е) — тетраэдр. Тогда в правой части неравенства 2.9 стоит число 5/2. Это означает, что индекс (Лав(Е) : А(Е)) равен 1 или 2.
Предположим, что (Аа$(Е) : А(Е)) — 2. Тогда
Лай(£) = А(Е) и (А(Е) + Ь) ,
где 1 е А(Е). Рассмотрим две шестерки точек
{|У1 + |У2 : УьУг 6 ЩЕ)} и