Пространства орбит свободных действий групп на дополнениях к конфигурациям подпространств

• Автор: Добринская, Наталия Эдуардовна
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 65 с.

Введение

Ряд классических и современных задач как самой топологии, так и ее приложений, сводится к изучению пространств орбит свободных действий групп. В диссертации рассматриваются вопросы, в которых в качестве пространств орбит получаются квазиторические многообразия (первая глава) и классифицирующие пространства групп Артина (вторая глава).
Теория квазиторических многообразий в настоящее время представляет собой интенсивно развивающуюся область исследований на стыке топологии, комбинаторики и гомологической алгебры ([7]). Она возникла на основе теории торических многообразий, которая находится в центре внимания последние 30 лет благодаря открытым на ее основе глубоким связям между алгебраической геометрией и задачами, пришедшими из теоретической физики.
Согласно известной гипотезе Арнольда-Тома-Фама, классифицирующее пространство группы Артина может быть получено как пространство орбит свободного действия соответствующей группы Кокстера на пространстве дополнения к конфигурации гиперплоскостей. Эта гипотеза напрямую связана с другим актуальным вопросом алгебраической топологии: определить, обладает ли данная группа реализацией классифицирующего пространства как конечного клеточного комплекса.
Основными результатами первой главы являются классификационные теоремы для квазиторических многообразий в следующих двух случаях: 1) пространство орбит есть произведение конечного числа симплексов произвольных размерностей 2) пространство орбит есть многогранник размерности 3 с небольшим числом гиперграней.
Во второй главе диссертации доказано, что пространство орбит действия группы Кокстера на ассоциированном с ней дополнении к гипер-
ВВЕДЕНИЕ
плоскостям является классифицирующим пространством положительного моноида Артина. Центральным результатом этой главы является сведение проблемы Арнольда-Тома-Фама к вопросу о гомотопическом групповом пополнении этого моноида.

Перейдем к более подробному изложению содержания диссертации.

Квазиторическим многообразием называется гладкое ориентированное многообразие М2п размерности 2п с гладким действием п-мерного тора на нем, которое удовлетворяет следующим условиям: действие локально изоморфно стандартному действию Тп на Сп, и пространство орбит диффеоморфно как многообразие с углами простому выпуклому многограннику Рп. Каждое такое многообразие задается многогранником Рп вместе с указанием стабилизаторов орбит, соответствующих его гиперграням. Такое соответствие записывают в виде функции А : Т —> Ъп, называемой характеристической, где Т — множество гиперграней многогранника, а значение на гиперграни определяет стабилизатор — одномерный подтор в Тп. Данная функция называется характеристической. Условие, что многообразие М2п является неособым, накладывает некоторое комбинаторное условие на характеристическую функцию. Задача классификации квазиторических многообразий над заданным многогранником сводится к описанию всех характеристических функций на нем, удовлетворяющих этому условию.
В §1.1 собраны необходимые определения и факты о квазиторических многообразиях. Приведены известные результаты классификации квазиторических многообразий, включающие случай п = 2, и результаты из алгебраической геометрии о классификации неособых торических многообразий, которые являются частным случаем квазиторических.
В §1.2 построена модификация конструкции весов из [22] на симпли-циальном комплексе К, двойственном к многограннику Рп. Дополни-
ВВЕДЕНИЕ
тельно введена новая функция е («раскраска»), определенная на симплексах максимальной размерности в К, со значениями в Ъч- Определено действие группы Ъ, где т — число вершин комплекса К, на весах и раскраске этого комплекса, которое задает отношение эквивалентности, соответствующее эквивариантным гомеоморфизмам квазиториче-ских многообразий. При этом торическим многообразиям соответствуют системы весов с тождественно единичной раскраской. Дан критерий существования квазиторического многообразия с данной раскраской и системой весов.
В §1.3 качестве приложения результатов §2 вычислены все характеристические функции на простых трехмерных многогранниках с числом гиперграней не более 6.
§1.4 посвящен задаче классификации в случае многогранников, являющихся произведениями конечного числа симплексов. Для квазитори-ческих многообразий над такими многогранниками получен критерий эквивариантного расслоения этих многообразий с базой и слоем, также являющимися квазиторическими многообразиями. Критерий формулируется целиком в терминах раскрасок. В качестве следствия дана классификация квазиторических многообразий, соответствующих тождественно единичной раскраске на произведении симплексов (а, следовательно, и описание торических многообразий над такими многогранниками), которая поглощает случай, исследованный в [16], так как многогранник с числом гиперграней, на 2 большим его размерности, есть не что иное, как произведение двух симплексов.
Во второй главе изучаются пространства орбит свободных действий групп Кокстера на дополнении к конфигурациям гиперплоскостей. Как известно, каждой системе Кокстера (И7, Б) соответствует ее точное действие отражениями на пространстве Е — Лт, где т — мощность мно-
ГЛАВА 2. ГИПОТЕЗА АРНОЛЬДА-ТОМА-ФАМА
§2.3 Конфигурационные пространства частиц с
метками в частичном моноиде
Конфигурационные пространства частиц возникали в различных задачах топологии, в том числе сыграли особую роль при построении классифицирующих пространств некоторых групп. Так, например, классифицирующим пространством группы кос Вп является конфигурационное пространство наборов п частиц на плоскости. Конфигурационное пространство п частиц в бесконечномерном пространстве М°° является классифицирующим для группы перестановок £п.
Интерес в теории гомотопий к конфигурационным пространствам частиц с метками в топологических пространствах возник в семидесятых годах в работах Мэя, Сигала, МакДуфф и др. Ниже приведем необходимые определения и основные результаты в этой области.
Для произвольного топологического пространства М введем пространство
И(М-п) = {(гщ,.. .,тп)ггц е М,т{ ф т^г ф ф].
Пространство И{М п) допускает очевидное действие группы перестановок Дг без неподвижных ТОЧвК.
Пусть теперь (X, хо) — топологическое пространство с отмеченной точкой, а (М, Мо) — пара, сотоящая из связного многообразия (возможно с границей) и его подмногообразия. Везде далее предполагаем, что X имеет гомотопический тип клеточного комплекса, а вложение отмеченной точки £о с-> X является корасслоением.
Определение 2.3.1 Конфигурационным пространством С(М, Мо; X) частиц в (М, Мо) с метками в топологическом пространстве с отмеченной точкой (X, хо) называется пространство
С(М, М0; X) = Ц ИДМ, Мо) х*п Хп/ ~,