Топология и геометрия комплексных многообразий с максимальным действием тора

• Автор: Устиновский, Юрий Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 89 с.

Оглавление
Введение

Глава 1. Предварительные комбинаторные, геометрические и топологические понятия

1.1. Симплициальные комплексы

1.2. Вееры

1.3. Выпуклые многогранники

1.4. Торические многообразия

1.4.1. Определение

1.4.2. Фактор-конструкция Кокса-Батырева

1.5. Момент-угол-комплексы 2;с

1.5.1. АС-степени и момент-угол-комплексы
1.5.2. Топология момент-угол-комплексов
Глава 2. Топология пространств с действием тора
2.1. Общая гипотеза о торическом ранге
2.1.1. Главные Тш-расслоепия
2.1.2. Гипотеза Хоррокса
2.2. Гипотеза о торическом ранге для момент-угол-комплексов
2.2.1. Вещественные момент-угол-комплексы
2.2.2. Операция удвоения симплициальных комплексов
2.2.3. Доказательство гипотезы о торическом ранге для момент-угол-комплексов
2.3. Градуированная гипотеза о торическом ранге для момент-угол-комплексов .
2.4. Максимальные действия торов
Глава 3. Комплексно-аналитические структуры на многообразиях с максимальным действием тора
3.1. Фактор-конструкция момент-угол-комплексов
3.1.1. Гладкие структуры
3.1.2. Комплексно-аналитические структуры
3.1.3. Комплексно-аналитические структуры на частичных факторах

3.2. Компактные комплексные многообразия с максимальным действием тора
Глава 4. Комплексная геометрия компактных комплексных многообразий с максимальным действием тора
4.1. Каноническое слоение
4.2. Главные расслоения над торическими многообразиями
4.3. Модель для когомологий Дольбо
4.4. Построение трансверсально-кэлеровых форм
4.5. Геометрия общих комплексных структур
Список литературы

Введение
Актуальность темы исследования. Настоящая диссертация посвящена пространствам с действием тора Тт = (51)"1. Исследуется топология таких пространств, изучается возможность введения гладких и комплексно-аналитических структур на пространствах с действием “большого” тора Тт, решаются некоторые вопросы касательно геометрии комплексных структур в случае их существования.
Объекты, обладающие богатой группой симметрией, на протяжении последних 30 лет привлекают особенное внимание [57]. Развитию интереса к пространствам с действием торов Тт способствовало появление торической геометрии — науки об алгебраических многообразиях, допускающих действие алгебраического тора (С’)п с открытой плотной орбитой [7; 61]. Наличие большой группы симметрий позволяет установить взаимно-однозначное соответствие между торнческимн многообразиями и комбинаторно-геометрическими объектами — веерами. Это соответствие открыло глубокие связи между геометрическими характеристиками торических многообразий и свойствами соответствующих комбинаторных объектов и нашло многочисленные приложения. Батырев [4] использовал торические многообразия для явного построения пар многообразий Калаби-Яу со свойствами, предписываемыми зеркальной симметрией. Поммерсхейм [50] доказал формулу для класса Тодда особой торической поверхности и использовал ее для доказательства теоретико-числовых тождеств, связывающих Дедекиндовы суммы. Стенли [52], применив сильную теорему Лефшеца к проективным торическим многообразиям, первым доказал необходимость неравенств МакМюллена в задаче об /-векторах простых многогранников.
Возможности торической геометрии, позволяющие доказывать внешние по отношению к алгебраической геометрии результаты при помощи изучения геометрии и топологии торических многообразий, мотивировали построение более общих пространств с действием тора. Дэвис и Янушкевич [17] определили топологический аналог проективных торических многообразий — квазиторические многообразия. Эти пространства уже не несут алгебраической структуры, однако обладают многими важным топологическими свойствами. Бухштабср и Рэй [9; 12] ввели на каждом квазиторическом многообразии, снабженном дополнительными комбинаторными данными, каноническую стабильно-комплексную структуру и явно описали способ построения квазпторическнх образующих в кольце комплексных кобордизмов. Ключевым шагом в создании торической топологии стала работа Бухштабера и Панова [58], в которой была существенно переработана конструкция Дэвиса и Янушкевича н для каждого снмплицналыюго комплекса /С были определены общие момент-угол-комплексы Дс — цен-

рическом ранге для пространств 2)с, оценив снизу ранг кольца когомологий вещественных момент-угол-комгглексов Ш.2ц.
2.2.1. Вещественные момепт-угол-комплексы
Определение 2.2.1. Пусть К. — симплициальный комплекс на множестве [т]. Вещественным момент-угол-комплексом №.2% называется пространство
НЛс=([-1,1],{-1,1})к.
Замечание. Поскольку каждое вложение {—1,1} ч- [—1,1] коммутирует с действием группы 2/22, х ы- —х, на вещественных момент-угол-комплексах имеется действие 2-тора (2/22)т. Пространство орбит этого действия совпадает с пространством орбит действия тора Тт на обычном момент-угол-комплексе 2/с:
К2к/(2/22)-~ ([0,1],{1})'с-
Пример 2.2.2. Пусть /С = <9Д3 — граница трехмерного симплекса, то есть симплициальный комплекс на множестве {1,2,3,4}, состоящий из всех собственных подмножеств X С (1,2,3,4}. Соответствующий вещественный момент-угол-комплекс есть граница четы-рех-мерного куба:
ВДе = ([-1,1], {-1,1})к ~ а[-1,1]4 =г 53.
Как мы покажем ниже, всякий момент-угол-комплекс 2% является вещественным мо-мент-угол-комплексом М.2& для некоторого комплекса К.'.
2.2.2. Операция удвоения симплициальных комплексов
Об определении, сформулированном ниже, автор узнал от авторов работы [3], в которой впервые операция удвоения была рассмотрена в контексте торической топологии.
Определение 2.2.3. Пусть /С — симплициальный комплекс на множестве вершин [т] = {г»1,..., ит}. Удвоением комплекса /С называется комплекс Ь{К.) на множестве вершин [2т] =
... ,ут,у'т} определяемый следующим условием: X С [2т] является минимальным (по включению) недостающим симплексом комплекса Ь{!С) тогда и только тогда, когда X имеет вид ..., у,-ь, }, где .., У{к} минимальный недостающий симплекс комплекса К..
Отметим, что если комплекс К. = дР* является границей многогранника двойственного простому многограннику Р, то £(Аб) также является границей выпуклого многогранника и