Метод редукции: инвариантные поляризации и би-пуассоновы структуры на пространствах инвариантных функций

• Автор: Микитюк, Игорь Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 266 с.

1 Кэлеровы структуры на кокасательных расслоениях симметрических пространств

1 G-инвариантные кэлеровы структуры на T(G/K)

1.1 Поляризации

1.2 G -инвариантные комплексные структуры

2 G -инвариантные кэлеровы структуры на касательных расслоениях римановых симметрических пространств
2.1 G -инвариантные комплексные структуры на касательных расслоениях симметрических пространств

2.2 Потенциальные функции

3 Кэлеровы структуры на областях касательных расслоений симметрических пространств, инвариантные относительно нормализованного геодезического потока

3.1 Алгебраическое уравнение

4 G-инвариантные метрически согласованные комплексные

структуры на T(G/K)

4.1 Основная лемма
4.2 Адаптированные комплексные структуры на T(G/K)
5 Инвариантные кэлеровы структуры и тензор кривизны симметрического пространства
5.1 Кэлеровы структуры и локальные диффеоморфизмы
5.2 Каноническая кэлерова структура и локальные диффеоморфизмы
5.3 Тензор кривизны проективной плоскости Кэли
6 Инвариантные кэлеровы структуры на инвариантных областях касательных расслоений симметрических пространств
ранга один
6.1 Инвариантные кэлеровы структуры на инвариантных областях D в касательных расслоениях пространств
SO(n + T)/SO{n) и SO0{l,n)/SO(n) (n > 2)

6.2 К -эквивариантные отображения
6.3 Нормирование
6.4 Основная лемма
6.5 Инвариантные кэлеровы структуры на инвариантных областях И
7 Редукция
7.1 Редукция и поляризации
7.2 Редуцированные кэлеровы структуры на Т£РП и
ТШРП
7.3 Редукция и адаптированные структуры
Инвариантные гиперкэлеровы структуры на кокасательных расслоениях эрмитовых симметрических пространств
1 Антикоммутирующие комплексные структуры
2 Инвариантные кэлеровы структуры на эрмитовых симметрических пространствах
2.1 (7 -инвариантные кэлеровы структуры Д(Р), О)
2.2 Гиперкомплексные структуры на касательных расслоениях эрмитовых симметрических пространств
2.3 Гиперкэлеровы структуры на касательных расслоениях эрмитовых симметрических пространств
3 Гиперкэлеровы структуры на неприводимых эрмитовых симметрических пространствах
3.1 Системы корней эрмитовых симметрических пространств
3.2 Инвариантные отображения и корневые системы эрмитовых симметрических пространств
3.3 Основная теорема
3 Инвариантные поляризации и частичные плоские связности
1 Продолжение частичных плоских связностей
1.1 Предварительные сведения
1.2 Дифференцирования
1.3 Плоские частичные связности и их продолжения
2 Структура гильбертова пространства на пространстве обобщенных сечений
2.1 Строго допустимые поляризации
2.2 Структура гильбертова пространства
2.3 Гильбертово пространство

3 Гамильтоновы системы осцилляторного типа: инвариантные поляризации и их применение в геометрическом квантовании
3.1 Обобщенный п -мерный осциллятор: инвариантные поляризации и структуры Коши-Римана
3.2 Многомерная система Кеплера: инвариантная поляризация и ее применение в геометрическом квантовании
3.3 Система MIC-Кеплера: инвариантная поляризация
и ее применение в геометрическом квантовании
4 Пуассоновы алгебры G-инвариантных функций
на T*(G/K)
1 Каноническая структура Пуассона на T*(G/K): структура алгебры G-инвариантных функций и действие подгрупп Бореля на однородном пространстве Gc/Kc
1.1 Отображение момента и гамильтоново действие
1.2 Пары редуктивных алгебр Ли
1.3 Пары редуктивных алгебраических алгебр Ли
1.4 Каноническая пуассонова структура и почти-сферические
однородные пространства
1.5 Действия подгрупп Бореля на однородных пространствах редуктивных алгебраических групп Ли
1.6 Почти сферические подалгебры простых алгебр Ли
2 Инвариантные би-пуассоновы структуры на Т* (G/К), пространство G-инвариантных функций и редукция
2.1 Основные обозначение и определения
2.2 Би-пуассоновы структуры {rf (а)} на Т*М
3 Редукция
3.1 Би-пуассонова структура {rf(wo)} в явных формулах240
3.2 Би-пуассоновы структуры {rf(wo)}: максимальные
инволютивные семейства функций
3.3 Би-пуассонова структура {rf(wo)} : редукция
3.4 Интегрируемые геодезические потоки
Литература
Глава 1
Замечание 3.3. Если симметрическое пространство О/К имеет ранг один, то произвольная АА(К) -инвариантная функция А(го) н& ¥ является функцией от (го, го) [Не178|,т.е. А рассматриваемая как функция на й х¥/ суть функция от Н. Более того, произвольная (7 -инвариантная функция / на Т(0/К) определяется единственным образом некоторой Ас! К-инвариантной функцией на т, т.е. / = /(Н).
Теперь мы попытаемся описать все С?-инвариантные и -инвариантные положительно-определенные поляризации на Т0(О/К). Обозначим через Т°М ТМ — {нулевое сечение} выколотое касательное расслоение многообразия М. Как и раньше т° обозначает множество всех ненулевых элементов из т. Положим и) = у/(ги, ш) для га € т.
Теорема 3.4. Пусть М = О/К - полупростое риманово симметрическое пространство ранга один. Предположим, что И - О -инвариантная положительно-определенная поляризация определенная на в -инвариантном открытом подмножестве П{0 х У/), 0 ф. IV в ТМ. Пусть Ру, : тс —> тс, го € - соответствующее семейство линейных отображений. Если поляризация И инвариантна относительно гамильтонова векторного поля функции л/Я, то симметрическое пространство й/К имеет компактный тип и
РДО = /- а4 (0 + |^А(го)го, (3.3)
где А : !У -»С, А (ад) = А(|го|) - гладкая функция с положительной вещественной частью.
Обратно, комплексное распределение Р = Р(Р), где отображение Р определено условием (3.3) и С/К - симметрическое пространство компактного типа, является положительно-определенной поляризацией на П(С х
Доказательство. Мы продолжим изложение, используя обозначения доказательства леммы 3.2. Так как форма (,) - Аб О-инвариантна и по-ложительно-определена на т, то разложение (в прямую сумму) подпространства т = (го) ф (го)-1 является аф{-инвариантным. Этот факт и соотношения (3.2), взятые вместе с последним утверждением предложения 2.3, влекут, что для всех го € !К