Инфинитезимальные автоморфизмы метрических структур финслерова типа и их продолжений на касательное расслоение

• Автор: Сорокина, Марина Валерьевна
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Пенза
• Количество страниц: 126 с.

Глава 1. Финслеровы пространства и их обобщения

§1. Основные понятия финслеровой геометрии

§2. Пространства финслерова типа

§3. Связности в пространствах финслерова типа

Глава 2. Пространства финслерова типа с (а,|3)-метриками

§4. Пространства финслерова типа, близкие к римановым

§5. Связность Картана как стабилизирующая связность последовательности связностей

§6. Пространство с метрикой Кропиной, допускающее группу движений

максимальной размерности

§7. Примеры пространств с (а,Р)-метриками

§8. Автоморфизмы механической системы как (а,Р)-структуры

Глава 3. Почти эрмитовы и почти симплектические структуры и их автоморфизмы на касательном расслоении гладкого многообразия
§9. Канонические почти комплексная структура и почти комплексная
связность. Инфинитезимальные автоморфизмы
§10. Почти эрмитовы и почти симплектические структуры на ТМ
§11. Инфинитезимальные автоморфизмы почти эрмитовых структур
(ТМ, (71,У)
§12. Инфинитезимальные автоморфизмы почти эрмитовых структур
СТМ,вV)
§13. Инфинитезимальные автоморфизмы почти симплектической
структуры О1
§14. Инфинитезимальные автоморфизмы почти симплектической
структуры О
Литература

Актуальность темы. Изучение геометрии финслеровых пространств Еп, их ближайших обобщений (обобщенных финслеровых пространств Тп, лагранжевых пространств Ьп, обобщенных лагранжевых пространств Сп) и их касательных расслоений является актуальным направлением математических исследований в связи с многочисленными применениями этих исследований в теоретической физике, в частности, в теории поля и аналитической механике. В последние годы число физических приложений пространств финслерова типа резко возросло. Имеется большое число работ, посвященных финслеровым обобщениям теории гравитационноэлектромагнитных полей [1], [38], [23], [43], [44], [53], [54]. К числу первых исследований в этом направлении, по-видимому, следует отнести работу Рандерса [56], в которой была предпринята попытка построения теории гравитационно-электромагнитного поля на основе финслеровой метрики Ь = а + /?, где а — jdij(х)у1уэ, /3 = Ь{(х)уг, а ац- компоненты риманова метрического тензора, Ь,— компоненты дифференциальной формы. Пространствам Рандерса посвящены многочисленные исследования в различных направлениях [40], [50], [57].
Лагранжева геометрия является основой аналитической механики [4], [9]. В этой связи отметим, что в теории динамических систем нашла применение еще одна (а,/3)-метрика Ь = а2//?- метрика Кропиной [20]. Обширный обзор но геометрии пространств финслерова типа с (а, /3)-метриками имеется в работе Мацумото [51].
В физических приложениях рассмотрение различных преобразований играет фундаментальную роль, поскольку с каждым преобразованием связан тот или иной закон сохранения [9]. Это обуславливает актуальность исследований различных преобразований и, в частности, автоморфизмов

метрических структур финслерова типа и их продолжений на касательное расслоение, что является естественным, поскольку компоненты дифференциально-геометрических объектов финслерова типа являются функциями точки касательного расслоения.
Теория движений (автоморфизмов) в пространствах финслерова типа с использованием аппарата производной Ли была разработана Б.Л. Лаптевым [21]. Первые исследования по теории движений финслеровых пространств принадлежат Кнебельману [47]. Он, в частности, доказал, что размерность группы Ли движений финслерова пространства Fn не превосходит п(п +1)/2 и не имеет подгрупп состоящих из движений, действующих по общим траекториям, а пространства Fn, допускающие группу движений максимальной размерности г = п{п + 1)/2 являются римановыми пространствами постоянной секционной кривизны. Если финслерово пространство Fn положительно определенной метрики допускает группу движений размерности г > п(п — 1)/2 + 1, то оно является римановым пространством постоянной кривизны и г = п(п + 1)/2 (Wang H.S. [61]). Для финслеровых пространств знакопеременной метрики это утверждение имеет место при г > п(п — 1)/2 -h 2 (А.И. Егоров [И]). Финслеровы пространства с группами движений размерности п(п —1)/2+1 найдены Tashiro I. [60] и Ku Chao-hao [48], а с группами движений размерности п(п — 1)/2 + 2 А.И. Егоровым [11]. В.И. Паньженским [24] было показано, что размерность группы движений обобщенного финслерова пространства не превосходит тг(п + 1)/2 и найдены все обобщенные финслеровы пространства, допускающие группы движений максимальной размерности. Четырехмсрпые пространства Рандерса, допускающие группы движений размерности п{п — 1)/2 + 1, были найдены З.Н. Четыркиной [33], Л.И. Егоровой [14] были найдены двух-

Непосредственной проверкой убеждаемся, что функции
2 / „ Р"
9' Р'Л-ЧаР"9 у3)’
являются контравариантными компонентами метрического тензора д:
О9гк9М =51).
Уравнения экстремалей в лагранжевом пространстве подчиняются уравнениям Эйлера-Лагранжа
й(дЬ дЬ .
ТАд^)~д?~
Утверждение 7.2. Уравнения Эйлера-Лагранжа для лагранжиана (7.1) имеют следующий канонический вид
хк + 2вк = 0, (7.5)

с* = ^(Ч»У - (у‘ = х‘), (7.6)
Ац = Эф] — д^Ь^- компоненты внешнего дифференциала (3/3 формы /3; Гу-компоненты связности Леви-Чивита V риманова метрического тензора ау.
Доказательство. Уравнения Эйлера-Лагранжа запишем в развернутом виде
81 д2Ь ... 82Ь

V - 33317* = »• <7'7)
дхг дхгдх^ 8х1дхР Вычислим необходимые частные производные и подставим в (7.7):
(Р'а^ + Р"у1уз)х3 + {^Р"8^арзуруащкук + д^щрур + д7■Ьl•jy,’-
- дгЬрур = 0 (у* = £1'). (7.8)
Умножая (7.8) на после несложных преобразований, получим
уравнения (7.5). Утверждение доказано.