Мозаики из выпуклых пятиугольников

• Автор: Багина, Ольга Георгиевна
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Кемерово
• Количество страниц: 149 с. : ил.

Содержание
Введение
Глава 1. Определения и обозначения
1.1. Центральные плитки мозаики
1.2. Метки
Глава 2. Мозаики из равносторонних пятиугольников
2.1. Соображения Ханта-Хиршхорна
2.2. Новое доказательство полноты списка равносторонних пятиугольников
Глава 3. Мозаики из пятиугольников с четырьмя равными сторонами
3.1. Основные формулы и вспомогательные утверждения
3.2. Случай гз = Г4 =
3.3. Случай гц = гх = г2 =
3.4. Случай Гх = г2 = Гз = 3, Го = Г4
3.5. Случай Го = Гг = Гз = 3, Г1 = Г4 =
3.6. Случай го = Г] = гз = 3, г2 = г4
3.7. Продолжение корон до мозаик
Глава 4. Мозаики из пятиугольников типа 11
4.1. Основные формулы и вспомогательные утверждения
4.2. Случай г2 = гз = Щ =
4.3. Случай Гх = г2 = Гз =
4.4. Случай Го — г2 = Гз =
4.5. Случай го = Гх = Гз =

4.6. Случай Уо — У — у% = уз =
4.7. Случай У = Уз — А
4.8. Случай «2 — Уз —
4.9. Продолжение корон до мозаик
Глава 5. Мозаики из пятиугольников общего вида
5.1. Пятиугольники первых семи типов
5.2. Пятиугольники типа 8(Р) — 11
5.3. Пятиугольники типа 8(Р) = 11
5.4. Продолжение корон до мозаик
Заключение
Литература
Приложение А. Графики функции ,5'(С для пятиугольников типа 6{Р)
Приложение Б. Графики функции 5'(^) для пятиугольников типа 5{Р)

Введение
Актуальность работы.
Одна из областей комбинаторной геометрии — теория замощений пространства интенсивно развивается на протяжении последних ста лет. Однако она имеет древнюю историю. Пожалуй, впервые интерес к замощению плоскости возник в связи с построением орнаментов и узоров. Известно много древних и средневековых орнаментов в Европе, Африке и Азии, составленных из повторяющихся мотивов [21], [23], [27]. Одним из первых в мировой науке примеров решенной классификационной задачи из теории правильных замощений является полный список Платоновых тел, а затем и список Архимедовых тел.
Остановимся на замощениях евклидовой плоскости. Совокупность замкнутых ограниченных фигур Т = {Рь Рг, ■ • •, Рк, ■ • •} называется замощением плоскости, если фигуры расположены так, что они не имеют общих внутренних точек, и их объединение есть вся плоскость. Плоскость, выложенную фигурами, называют мозаикой, а фигуры замощения часто называют плитками.
Конечно, плитки, которыми выкладывают мозаику, могут иметь бесконечно много форм. Кроме того, мозаики бывают периодическими и непериодическими. Периодической мозаикой называется такая мозаика, в которой можно выделить область, заполняющую всю плоскость без пробелов и наложений при параллельных переносах. Голландский художник М.К. Эшер известен тем, что многие его рисунки и гравюры представляют собой периодические мозаики, составленные из областей, напоминающих очертаниями живых существ [20], [37]. Существует бесконечно много фигур, из которых можно сложить только периодическую мозаику. Существует бесконечно много фигур, из которых можно сложить и периодические, и непериодические

Подставляя (6) и (7) во второе уравнение систем, находим угол а и тем самым определяем углы пятиугольника Хі, г = 0,..., 4 по формулам (7) и (6).
Объединяя эквивалентные системы, получаем 10 различных систем уравнений. Решения двух из них можно легко найти.
5) После перенумерации вершин ж0, л3, х4 на хо, ж4, хд, л2, Хі, систе-
ма, у которой второе уравнение Хі + 2х4 = 360° дает уравнения системы 3 в таблице 2.1.
2) Из системы, у которой второе уравнение хо + 2хз = 360° следует, что Х2 = хз и Х — х4, (см. рис. 2.5). Так как хо + х + х2 + х3 + х — 540°, имеем ті + л4 = 180°, то есть пятиугольник типа II с углами х = х4 = 90°.

Рис. 2.5. Система 2 таблицы
Ограничения на углы исключают системы 3 и 7. Из системы 3 следует х = 120°, но Хх ^ 100°. В системе 7 хз + 2х = 360°, но эта сумма не превышает 356°.
Решения оставшихся восьми систем найдены с помощью "Маріє". Результаты исследования десяти систем представлены в таблице 2.2, которая составлена по тем же правилам, что и таблица 2.1.
Чтобы показать, что пятиугольники в системах 1, 6, 8, 9 и 10 в таблице 2.2 не могут замостить плоскость, перенумеруем углы на рисунке 2.2 для случая 1 так, что в вершине, где сходятся углы хо,х,Хх, угол хх заменен углом хд. Тогда с углом А в одной вершине сходятся углы: в случае (1) — х,х4, в случае