Циклические g-цепочки Дарбу

• Автор: Смирнов, Сергей Валерьевич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 105 с. : ил.

3.1.4 Цепочки со сдвигом в — г/2

3.2 Цепочка длины

3.2.1 Общее решение

3.2.2 Асимптотика коэффициентов

3.2.3 Сходимость к непрерывной модели

3.3 Цепочки произвольной длины

3.3.1 Формулировка основной теоремы

3.3.2 Существование решений

3.3.3 Локальная асимптотика решений

3.3.4 Асимптотика решений для произвольных параметров ск7

3.3.5 О сходимости к непрерывной модели при г

3.4 Интегрируема ли циклическая ^-цепочка?
3.4.1 Одномерный случай
3.4.2 Трехмерная совместность разностных уравнений на двумерной решетке
3.4.3 Случай ^-цепочки
Список литературы

Глава 2. Дискретизация
где а(п), Ь(п) £ Е {0}, действующих в гильбертовом пространстве £2(2), где Т — элементарный сдвиг вправо: (Тф){п) = ф(п + 1). Тогда ^-соотношение Гейзенберга (2.23) эквивалентно следующей системе разностных уравнений:
т.е. коэффициенты оператора Ь неограничены при п —>• — оо. Таким образом, эта реализация д-осциллятора требует введения неограниченных операторов, что, однако, не следует из вида дискретного спектра (2.24) оператора Ь, который содержится в ограниченном интервале. Подобное координатное представление было впервые введено, по-видимому, Макфарлеиом в работе [31], где оно было связано с полиномами Родоюерса-Сеге. Позднее это координатное представление было довольно подробно описано Атакишиевым и Сусловым [4], а затем Новиковым и Таймаиовым [33], однако, разностные системы, подобные (2.32), в этих работах не появлялись и не исследовались.
В работе [4] показано, что в этом координатном представлении собственные функции д-осциллятора можно выразить через полиномы Стпилтъеса-Вигерта.
ЗАМЕЧАНИЕ 2.14 Мы показали (см. теорему (2.2)), что дискретный спектр д-осциллятора в интервале [0,ад/(1 — д)) состоит из одной д-арифметической прогрессии (в физической литературе [28] он называется фоковским спектром) и что алгебраическое соотношение (2.23) запрещает оператору Ь иметь точки дискретного спектра в отрицательной области; однако, это соотношение не накладывает никаких ограничений на собственные значения в интервале [ад/(1—д), +оо) и ситуация со спектром выше точки накопления ад/(1—д) до сих пор не ясна. С одной стороны, в работе Новикова и Тайманова [33] 1997-го года была сформулирована гипотеза о том, что в представлении q-осциллятора разностными операторами (2.31) непрерывный спектр оператора Ь заполняет бесконечный промежуток (ад/(1—д), +оо). С другой стороны,
а2(п) + 62(п) = q (а2(п) + 62(п — 1)) + а а{п + 1) = qa{n)
(2.32)
где пег. Решая эту систему, получаем следующее:
а(п) = дпа(0), Ь2(п) = дп62(0) + - а2(0)дп+1(1 - дп) /п Є Ъ.
Легко видеть, что при а(0) ф О
а(п) —¥ 0,
а(п) —> (—1)^па^оо, Ь(п) —> +оо при п —> —оо,