Три-ткани Бола с тензором кривизны минимального ранга

• Автор: Антипова, Мария Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 126 с.

Оглавление
Введение

0.1 Общая характеристика работы

0.2 Краткое содержание диссертации

1 Три-ткани Бола

1.1 Структурные уравнения многомерной три-ткани Ш

1.2 Структурные уравнения средней ткани Бола

1.3 Шестимерные три-ткани Бола

2 Три-ткани Бола с тензором кривизны минимального ранга

2.1 Многомерные три-ткани Бола с тензором кривизны минимального ранга

2.2 Восьмимерные гиперболические ткани БВ^ первого типа

2.3 Некоторые свойства гиперболических три-тканей Бола БВ^
первого типа
2.4 Восьмимерные ткани БВ^ второго типа
2.5 Некоторые свойства восьмимерной три-ткани Бола БВ^ второго типа
2.6 Восьмимерные параболические ткани БВ^ первого типа
2.7 Некоторые свойства восьмимерных параболических тканей
Б В^ первого типа
Литература

Введение
0.1 Общая характеристика работы
Актуальность темы исследования. В теории многомерных три-тканей большую роль играют условия замыкания различных конфигураций, которые позволяют провести классификацию тканей. В конце 20-х годов XX века В. Бляшке и его ученики — Г. Томсен, К. Рейдемейстер, Г. Бол показали, что условиям замыкания на криволинейной три-ткани ¥ конфигураций определенного вида, образованных линиями этой ткани, соответствуют некоторые тождества, выполняемые в координатной квазигруппе этой ткани и в её координатных лупах. В работах [40] и [18], посвященных этой теории, появилось условие шестиугольности (Н). Затем в работе [35] были рассмотрены новые условия замыкания, названные впоследствии условиями Томсена и Рейдемейстера, и показано, что эти условия связаны с групповыми свойствами три-ткани. Наконец, в работе [19] были введены еще три условия замыкания — условия Бола.
Дифференциальные уравнения три-ткани ИД г, г, г) общего вида, образованной тремя слоениями коразмерности г на гладком многообразии размерности 2г, и некоторых специальных классов таких три-тканей были впервые найдены в середине тридцатых годов XX века в работе [52] С. Черна. М.А. Акивис в [1] нашел вид структурных записал структурные уравнения ткани ИДг, г, г) в современной инвариантной форме, что позволило записать результаты Черна в более лаконичном виде, и эффективно исследовать некоторые специальные классы тканей
(трансверсально-геодезические, изоклинные и др). Методами, разработанными в [1], получены все существенные результаты по теории многомерных тканей, см. монографию [6].
В [8], [9] найдены необходимые условия замыкания фигур Бола Ве, Вг и Вт на многомерной три-ткани. Они заключаются в том, что тензор кривизны ткани является симметричным по каким-либо двум нижним индексам. В работах [25], [26] А. Д. Иванов доказал достаточность этих условий для четырехмерных тканей Бола, а также провел их классификацию. В. И. Федорова в [45] доказала достаточность этих условий для произвольной размерности и провела в [46] классификацию шестимерных тканей Бола.
Теория многомерных три-тканей имеет многочисленные приложения в разных разделах математики и физики, см. об этом в [17], [6]. Это важное обстоятельство объясняется тем фактом, что три-ткань вполне определяется своим уравнением г = /(ж, у), связывающим параметры слоев ткани, проходящих через одну точку. Другими словами, три-ткань есть геометрическая модель функции двух переменных 2 = /(х,у). Например, в [49] Е. В. Ферапонтов описал систему трех дифференциальных уравнений гидродинамического типа, характеристики которой образуют на любом решении шестиугольную три-ткань. В этом случае система будет слабо нелинейной и полугамильтоновой.
Уравнение три-ткани можно рассматривать как бинарную операцию, квазигруппу или лупу. Это дает возможность применять методы теории тканей при изучении свойств гладких квазигрупп и луп, что расширяет область применения теории три-тканей. Например, в работе [34]
А. И. Нестеров проанализировал возможности применения квазигруппо-вых идей в различных областях теоретической физики (теория поля, общая теория относительности, динамические симметрии и т.д.).

Продифференцируем внешним образом уравнения (1.43) и затем преобразуем правую часть с помощью соотношений (1.8), (1.10), (1.43) и (1.44). В результате придем к уравнениям
Ч - Л <4 = -Ьщ,)““+ (ьц,, + л Ы, (1.45)
из которых видно, что форма кривизны связности Г произвольной ткани УУ выражается только через формы иг тогда и только тогда, когда тензор кривизны этой ткани У удовлетворяет условию (1.42). Отсюда и из третьего уравнения (1.44) вытекает
Теорема 1.9. [6] Условие (1.37) на тензор кривизны ткани У необходимо и достаточно для того, чтобы формы определяли на базе Х% третьего слоения этой ткани аффинную связность без кручения. Таким образом, на базе Х3 третьего слоения всякой ткани Вт формы определяют аффинную связность без кручения. Она обозначается у.
С помощью соотношений (1.42) и (1.9) получаем структурные уравнения связности Г:
СІШ% = О!3 Л Шгз, — Шк3 Л й>1 = Щы0^ Л (1-^6)

Щы = д (Р)ке ~ 2а1пзаы) ■ (1-47)
Величины Щы образуют тензор кривизны Я связности Г. Соотношения
Щы = —Щік’ которым должен удовлетворять тензор Я, вытекают из
равенств (1.42) и кососимметричности тензора кручения агк.
Верна
Теорема 1.10. [6] База Х3 третьего слоения три-ткани Вт является локально симметрическим пространством, т.е. ее тензор кривизны ковариантно постоянен:
ХЯ)М = 0. (1.48)