Комбинаторное строение и изгибания 1-параметрических многогранников

• Автор: Максимов, Игорь Гаврилович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 93 с. : ил.

Оглавление
Введение
1. Общая постановка задачи
2. Основные определения
3. Общие уравнения изгибаемости
4. Примеры многогранников и простых изгибаний
5. Неизгибаемость многогранников с числом вершин не более
6. Комбинаторное строение и свойства изгибаемости
7. Методы исследования изгибаемости
8. Благодарности
1 Исследование изгибаемости многогранников с малым числом вершин
1.1 Комбинаторная классификация
1.2 Пирамиды и подвески
1.3 Многогранники, имеющие вершины индекса
1.4 Обобщенный объем
1.5 Особый многогранник с восемью вершинами
1.5.1 Параметр для описания изгибаний
1.5.2 Уравнение изгибаемости
1.5.3 Объем многогранника
1.6 Выводы
2 Понятие р-параметричности для многогранников и описание комбинаторной структуры 1-параметрических многогранни-

2.1 Понятие общего положения
2.2 Понятие комбинаторной р-параметричности
2.3 Понятие алгоритмической р-параметричности
2.4 Описание строения алгоритмически 1-параметрических многогранников
3 Исследование изгибаемости алгоритмически 1-параметриче-ских многогранников
3.1 Основные обозначения
3.2 Зависимость длин диагоналей и частичных объемов от параметра изгибания
3.3 Уравнения изгибаемости и алгоритмы проверки изгибаемости
для 1-параметрических многогранников
Литература

Введение.
1. Общая постановка задачи.
Вопросы изгибаемости многогранников относятся к одному из главных и трудных направлений в метрической теории многогранников. В самом общем виде основной предмет рассмотрения - выяснение того, насколько однозначно метрика замкнутой поверхности определяет тело, которое ею ограничено. Основной вопрос звучит следующим образом: верно ли, что если две замкнутые полиэдральные поверхности в евклидовом пространстве с индуцированной метрикой изометричны, то ограниченные этими поверхностями тела равны, то есть одно получается из другого движением всего пространства. В случае положительного ответа поверхности называются однозначно определенными их комбинаторным строением и метрикой. Мы будем рассматривать многогранники и будем требовать, чтобы сравниваемые поверхности были комбинаторно изоморфными (имели одно и то же комбинаторное строение), а их грани были конгруэнтными.
Для такой общей формулировки легко построить контрпример. Рассмотрим многогранник в 3-мерном евклидовом пространстве Д3, имеющий не менее шести вершин. Предположим, что он имеет вершину индекса три, то есть из этой вершины выходят ровно три ребра. Тогда концы этих ребер определяют плоскость, и зеркальная симметрия относительно этой плоскости указанной вершины, очевидно, сохраняет метрику поверхности, ио изменяет тело ее ограниченное. С другой стороны известно, что выпуклые многогранники однозначно определены своей метрикой и комбинаторным строением (Коши, 1813, [1]).

литических функций, мы запишем уравнения изгибаемости в другом виде. Это позволит нам связать с каждым изгибаемым многогранником рассматриваемого типа риманову поверхность, на которой мы и будем исследовать функцию объема.
1.5.1 Параметр для описания изгибаний.
Для того чтобы написать уравнения изгибаемости, сначала рассмотрим изгибания только части многогранника („половинки“), показанной на рис. 1.9.
В качестве параметра х, описывающего изгибания будем использовать квадрат расстояния <7р,р4 между вершинами Р2Р4. Зная это расстояние и длины всех ребер, мы можем восстановить расстояния между любыми двумя вершинами многогранника.
Воспользуемся результатами главы 3 для вычисления диагоналей при известных длинах ребер и значении параметра. В силу леммы 6. 7, предложения 12 имеем:
Предложение 4 Зависимость пространственного расстояния между вершинами РР$ от параметра изгиба,ния х = <р2р4 выражается, формулой:
Р Ра
Рис.. 1.9: Изгибание половинки многогранника.
у(х) = дРз{х)
До + + Д2£з£1/з1 ~Ь Р3£1£2РУхУ2