Интегрируемость комплексных гамильтоновых систем с неполными потоками в C2

• Автор: Лепский, Тимур Александрович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 124 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Интегрируемые гамильтоновы системы с неполными потоками и многоугольники Ньютона
1.1 Основные понятия и утверждения
1.2 Обзор известных результатов по топологии слоев
1.2.1 Достаточные условия связности слоя
1.2.2 Топология слоя невырожденного многочлена
1.3 Поведение гамильтонова поля в бесконечно удаленных точках
на пополненном слое
1.4 Примеры
2 Гамильтонова классификация систем с эллиптическим гамильтонианом степени 1,2,3,4
2.1 Основные понятия и утверждения
2.2 Гиперэллиптический гамильтониан степени один
2.3 Гиперэллиптический гамильтониан степени два
2.4 Гиперэллиптический гамильтониан степени три
2.5 Гиперэллиптический гамильтониан степени четыре
3 Топология лагранжевых слоений
3.1 Основные понятия и утверждения
3.1.1 Важный класс комплексных гамильтоновых систем
3.1.2 Гиперэллиптические многочлены: топология неособого слоя, локальная классификация особенностей лагранже-
ва слоения
3.1.3 Наборы кратностей критических точек на особых слоях .

3.2 Топология слоения в окрестности особой точки (локальная топологическая классификация особенностей)
3.3 Топология слоения в окрестности слоя
(полулокальная топологическая классификация особенностей) .
4 Комплексная теорема Лиувилля для гиперэллиптических гамильтонианов
4.1 Комплексная теорема Лиувилля для гиперэллиптических гамильтонианов нечетной степени
4.1.1 Периодичность интегральных траекторий на нулевом слое
4.1.2 Семейства геодезических с концами в бесконечно удаленных точках на слоях, близких к нулевому
4.1.3 Комплексные координаты “действие-угол” и функции перехода. Комплексная теорема Лиувилля
4.2 Комплексная теорема Лиувилля для гиперэллиптических гамильтонианов четной степени
4.2.1 Периодичность интегральных траекторий на нулевом слое
4.2.2 Семейства геодезических с концами в бесконечно удаленных точках на слоях, близких к нулевому
4.2.3 Комплексные координаты “действие-угол” и функции перехода. Комплексная теорема Лиувилля
Литература

Введение
Диссертационная работа посвящена решению ряда проблем в активно развивающейся в настоящее время теории гамильтоновых систем, которые играют важную роль при описании физических процессов без диссипации. Важными вопросами в теории гамильтоновых систем являются задачи исследования полноты потока, описывающего систему (необходимое условие интегрируемости системы по Лиувиллю), и задачи классификации (с точностью до различных отношений эквивалентности) таких систем.
Пусть М2п — гладкое многообразие, и — симплектическая структура на М2п, Н : М2п —> М — гладкая функция, называемая гамильтонианом, и пусть 8§гас1 Н — гамильтоново векторное поле с гамильтонианом Н на М2п. Следуя [7, §1.5], гамильтонову систему (М2п,со,Н) назовем вполне интегрируемой (или интегрируемой по Лиувиллю), если существует набор гладких функций /і = Я, /2, : М2п —> К, такой что:
— первые интегралы sgrad Н;
2) /ъ • • ■, /п функционально независимы на М2п, то есть почти всюду на М2п их градиенты линейно независимы;
- 3) {/ь /у} = 0 при любых і, і = 1,..., п;
4) векторные поля sgrad /,, г — 1,..., п полны, то есть естественный параметр на их траекториях определен на всей числовой прямой.
Если выполнены лишь условия 1-3 (а условие полноты потоков не обязательно выполнено), то систему с соответствующим набором первых интегралов /і ,...,/„ назовем интегрируемой.
Если естественный параметр на траекториях хотя бы одного из коммутирующих векторных полей sgrad/i, і = 1,..., п определен не на всей числовой прямой, то набор векторных полей и набор соответствующих потоков назовем неполными, а систему — интегрируемой гамильтоновой системой с неполными потоками.
Простейшим примером интегрируемой гамильтоновой системы с неполными потоками является система (М2 {О}, сіх А сіу, —у), заданная на М2 {О}

Рис. 1.3: Многоугольник Ньютона многочле- Рис. 1-4: Многоугольник Ньютона многочлена /(*, ъи) = гг + іи3 - І на Дг> = гР +и)
Действительно, критическая точка равна (0, 0), особое значение равно 0, множество неособых значений совпадает с С {0}. Многоугольник Ньютона для многочлена /(г, ги) - ( = + ЄС {0}, является треугольником
с вершинами в точках А(р, 0), Лг(0, д), Д3(0, 0), см. рис 1.4. Проверим, что многочлен /(,г,ги) — £ Є С {0}, является невырожденным относительно
своего многоугольника Ньютона. Обозначим сторону А^А% многоугольника Ньютона через Г і, сторону АіА3 через Г2, сторону А/Ао через Г3. Многочлен, отвечающий стороне Гі, равен РгДу) = Ур — £ и не имеет кратных корней. Многочлен, отвечающий стороне Гг, равен Рг2{у) — 2/9—£ и не имеет кратных корней. Многочлен, отвечающий стороне Г3, равен Рг2(у) = уъ^рл^ + 1 и не имеет кратных корней. Отсюда следует, что условия теоремы 11 выполнены. Количество целочисленных точек строго внутри многоугольника Ньютона равно пд — ((р — 1)(д — 1) — ^сб(р, д) — 1))/2, количество целочисленных точек на стороне Г3 равно gcd(р,д) — 1, поэтому = gcd(р,д). По теореме
слой Т? имеет требуемые свойства.
Пример 1.4.3. Пусть /(г,іи) = г2 + ГЦги), где Рп{уо) — многочлен одной

переменной степени п, Рп(ги) = ак^к^ “о ■ ■ • > Оп Є С, ап ф 0, тогда осо-

бые значения равны £< = РДгн-1), где т® — корень уравнения Р!п{'иі) — 0, г = 1,..., п — 1. Для любого £ Є С неособый слой гомеоморфен
сфере с [{п — 1)/2] ручками и без (3 + (—1)") /2 бесконечно удаленных точек. В каждой бесконечно удаленной точке р^, і — 1,..., (3 + (—1)”) /2, векторное иоле sgradc/ имеет особенность полюс порядка — 1. Действитель-
но, критическая точка равна (0,гн°), где т® — корень уравнения Р'(го) = О, г — 1,...,п — 1, отсюда особые значения равны & = /(0,гД) — Р^ги*-), мно-