Расслоения, ассоциированные с иерархией Кортевега - де Фриза

• Автор: Шорина, Светлана Юрьевна
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 80 с.

Оглавление

Введение. Постановка задач и основные результаты

1 Иерархия КдФ и абелевы функции

1.1 Иерархия КдФ, представление Лакса, соотношение Ленарда

1.2 Универсальное расслоение Якобианов

1.3 р-функции Клейна

1.4 Отображение Абеля

1.5 Иерархия КдФ как гамильтонова система

1.6 Резольвента Гсльфанда-Дикого оператора £ = д — и

1.7 т-функция иерархии КдФ

2 Многомерные коммутирующие дифференциальные операторы третьего порядка, задающие КдФ-иерархию
2.1 Построение семейства многомерных коммутирующих дифференциальные операторов третьего порядка {74}
2.2 Обобщенный сдвиг, ассоциированный с иерархией КдФ
2.3 Гиперэллиптическая кривая, ассоциированная с решением стационарного уравнения КдФ
2.4 Расслоение пространства решений д-тых стационарных уравнений КдФ над пространством гииерэллиптических кривых
2.5 Обратное отображение Абеля

Оглавление

2.6 Алгебраическое соотношение, связывающее операторы С,
ии...Мд
2.7 Общие собственные функции операторов С, 1А,... ,Кд
2.8 Спектральное многообразие, параметризующее общие собственные функции операторов £,
2.9 Соотношение однородности для общей собственной функции
3 ш-функция иерархии КдФ
3.1 Фундаментальная производящая функция решения стационарного уравнения КдФ
3.2 Построение ш-функции
3.3 Приложения к ст-функциям Клейна
3.4 Соотношение однородности для ш-функции
3.5 Функция ш в случае рациональной кривой
4 Гамильтонова система, задаваемая КдФ-иерархией
4.1 Построение гамильтонианов Нд
4.2 Производящая функция для гамильтонианов
5 Приложения
5.1 Гиперэллиптическая кривая и основные соотношения при
5 = 1,
5.2 Рациональная щ-функция при д = 1, 2,
5.3 Гамильтонианы Я* при д — 1,
Литература

Введение. Постановка задач и основные результаты
Уравнение Кортевега - де Фриза (КдФ) было впервые выведено Д. Кор-тсвегом и Г. де Фризом ([20]) в 1895 году как дифференциальное уравнение, описывающее солитонные волны, открытые С. Расселом ([25]).
Уравнение КдФ занимает важное место в современной математической физике. Оно оказало большое влияние на современную математику. Теория иерархии КдФ тесно связана со спектральной задачей для оператора Шредингера, с дифференциальной и алгебраической геометрией. Результаты, полученные при исследовании уравнения КдФ, применимы к другим интегрируемым системам нелинейных дифференциальных уравнений. Открытие новых свойств этого замечательного уравнения актуально для теории интегрируемых систем в целом.
Это уравнение было проинтегрировано Гарднером, Грином, Круска-лом и Миурой (]6|) с помощью преобразования рассеяния в 1967 году. Начиная с работы Лакса((21|) в теории уравнения КдФ активно используется метод Ь-А пары, позволяющий представить это уравнение с помощью коммутатора оператора Шредингера С и диференциально-го оператора третьего порядка. Этот метод привел к высшим уравнениям КдФ, совокупность которых образует так называемую иерархию КдФ. Аналоги представления Лакса существуют и для других известных уравнений в частных производных, в частности для уравнения

Глава 2. Коммутирующие операторы третьего порядка

2.3 Гиперэллиптическая кривая, ассоциированная с решением стационарного уравнения КдФ
Теорема 2.2. Пусть для производящей функции и(£) выполнено (2.2.2) и (2.2.3). Положим
(2.3.1) 4/|(£) = и'(02 + 2и"(0(2-и(0) + 4(Г‘ + и,)(2-и(0)2.
Тогда р(£) = 4£-1 + ]£1г=1 причем все р1 — константы. Доказательство. Из уравнений (2.2.6), (2.2.7), (2.2.8) следует, что
д(у)р(0 = 2и'(О0(17)и'(О + 2(2 - и(0Жч)и"(0 “ 2и"(00(»/)и(0+
+ 4и'(т?)(2 - и(0)2 - 8(Г‘ + «0(2 - и(0)3(т/)и(0 = 0.
Следовательно 9,/г, = 0 для 1 < г, У < д, и все щ — константы. □
Полагая и* = 0 при к > д, получаем из (2.3.1), что
(2.3.2) ^£+1 = /Арк «Гь(т£ 1, ^ 1, н],,.., нд., и^, и д.), к — 1,..., 2р,
где .7* — полиномы. При к < д из (2.3.2) следует, что функции рекурсивно выражаются через функцию «1, ее производные по т и константы р;. Отметим, что условие Ф' = 0 приводит к д-тому стационарному уравнению КдФ, а при к > д условия .7* = —1 /4//* приводят к интегралам высших уравнений КдФ (см. [14]).
Лемма 2.17. Пусть щ — константы. Тогда из (2.3.1) следует (2.2.2). Если выполняется (2.1.4) и (2.3.1), то верно (2.2.3).
Доказательство. Первое утверждение леммы тривиально. Далее из уравнения и'к+1 = 1/4« — 2и[ик — 4щи'к) получаем
дми'т = дти'ш = 1/4[дтик - 2и" и* - 2идтик - 4и'ти'к - 4щдти'к) =