Теоремы типа Борсука-Улама в комбинаторной и выпуклой геометрии

• Автор: Карасёв, Роман Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Долгопрудный
• Количество страниц: 153 с.

Оглавление
1 Введение

1.1 Историческая справка

1.2 Описание структуры работы

2 Вспомогательные утверждения из топологии

2.1 Класс Эйлера векторного расслоения и практические

методы его вычисления

2.2 Относительный класс Эйлера

2.3 Эквивариантный класс Эйлера

2.4 Когомологии пространства В(^р)к

2.5 Индекс №Р)к-действия

2.6 Род С7-действия
2.7 Категория Люстериика-Шнирельмаиа
2.8 Теоремы о покрытиях для /^-пространств
3 Топология векторных расслоений
3.1 Теоремы о неподвижной точке для послойных отображений
3.2 Топология грассмапианов и канонических расслоений
над ними
4 Теоремы типа Тверберга

4.1 Конфигурационные пространства и расслоения в теоремах типа Тверберга
4.2 Теорема Тверберга для траисверсалей
4.3 Теоремы типа Ван-Кампена-Флореса для плоских транс-версалей
4.4 Цветная теорема Тверберга для траисверсалей
4.5 Формулировки теорем о центральной точке
4.6 Сведения о мерах и их центральных точках
4.7 Доказательства теорем о центральной точке
4.8 Двойственные теоремы типа Тверберга
4.9 Некоторые гипотезы
5 Теоремы о покрытиях и разбиениях
5.1 Цветная теорема Кпастера-Куратовского-Мазуркевича
5.2 Теоремы типа ККМ на произведениях симплексов
5.3 Теорема об отображениях и цветная теорема Хелли
5.4 Цветные обобщения леммы Шперпера
6 Геометрия пространства плоскостей
6.1 Геометрические свойства грассманиана
6.2 Разбиение мер гиперплоскостями
6.3 Теоремы типа Борсука-Улама для плоскостей
6.4 Теоремы типа Хелли для плоских траисверсалей
7 Бильярды в выпуклом теле
7.1 Задача о количестве замкнутых траекторий
7.2 Конфигурационное пространство, его индекс
7.3 Квазинеподвижные точки Д,-действия
8 Вписывание многогранников и деление меры
8.1 Вписывание правильного кроссполитопа и кроссполитопа с (Д,)-симметрией
8.2 Деление меры конусами
8.3 Теоремы существования для метрических соотношений
на многообразиях
9 Категория Люстерника-Шнирельмана прообразов
9.1 Обобщённая относительная категория
9.2 Доказательство и следствия
Литература
Список литературы
Вспомогательные утверждения из топологии

Определение. Для свободного ^-пространства X возьмём произведение X на отрезок I = [0,1] и определим в нем действие Zi по формуле о[х, t) — (a(x), 1 — t). Тогда пространство X х I свободно и пусть В(Х) = (X х /)/Д?. Можно заметить, что В(х) получено из X приклеиванием отрезка к каждой паре точек {.т, п(.'с)} и введением соответствующей топологии на этом множестве. Естественное отображение В(Х) X/Zv, является расслоением со слоем I (а значит и гомотопической эквивалентностью), а X С В(Х) отождествляется с пространством сфер этого расслоения.
Здесь используется обозначение В, потому что пространство X отождествляется с пространством сфер S(V) некоторого линейного расслоения V —» X/Z-i. При этом В(Х) является пространством шаров того же расслоения В(Х) = B(V).
Далее в этом разделе коэффициенты когомологий всегда равны Z‘i и опускаются в обозначениях.
Следующая теорема усиливает лемму 5.5 из [75].
Теорема 2.28. Если у Z^-npocmpancme X и Y индексы hind X = hindT = n, mo для любого жвиварштпного отображения / : X —> Y отображение /* : Hn(Y) —» НП(Х) нетривиально. Кроме того, не существует такого (не обязательно эквивариантного) отображения h : В(Х) —> Y, что f — h о гх. где i-x '■ X —> В(Х) естественное вложение.
Доказательство. Из условия следует, что пространства X и У являются свободными. Запишем точную последовательность Тома
... ^ НкХ) Д Нк(В(Х)) Д- Hk{B(X),X) /- Я*_1(Х)...,
... Д- Я^'(У) Д- Hk(B(Y)) Д Hk(B(Y), Y) Д Я*-1(У)