Фильтрации групп, гомологий и пространств зацеплений

• Автор: Михайлов, Роман Валерьевич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 107 с. : ил

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение

Глава 1. Трансфинитные нижние центральные ряды групп

1.1 Построение групп С(г)

1.2 Проблема Дж. Левина о невидимых подгруппах

1.3 Глинки и 2-порожденные группы зацеплений

1.4 Группы 3-многообразий длины больше ш

Глава 2. Фильтрации пространства локализованных зацеплений

2.1 Проблема Изотопической Реализации в К3 и накопление сложности

2.2 Инварианты Кассона-Уокера-Лескоп и /с-квазиизотопия

2.3 Алгебраические инварианты &-квазиизотопии

2.4 Группы, порожденные 3-энгелевыми элементами
Глава 3. Фильтрации гомологий, локализации, условия парасвободности
3.1 Гомологическая локализация и фильтрация Дваера
3.2 Некоторые трансфшштные условия
3.3 Группы с длинными фильтрациями
3.4 Группы с длинными башнями нуллификаций
Приложение 1. Топологическая интерпретация трансфинитных рядов
Приложение 2. Тонкая &-квазиизотопш и движения Хабиро
Литература

Введение.
Предмет исследования данной работы относится к теории групп, гомологической алгебре и геометрической топологии. Рассматриваемые разделы теории групп - это нижние центральные ряды в группах, коммутаторное исчисление и трансфинитные свойства групп. Рассматриваемая гомологическая алгебра - это теория гомологий групп, а геометрическая топология - это теория классических зацеплений и 3-мерных многообразий.
Понятие нижнего центрального ряда в группах было введено Файтом [F] в 1906 году и получило дальнейшее развитие в известной работе Ф.Холла [Hal] в 1933 году. Цитируемые работы использовали нижние центральные ряды в основном для изучения конечных р-групп. Общая теория нижних центральных рядов была в достаточной мере построена уже в первой половине ХХ-го века в работах В.Магнуса, Витта, Ф.Холла, М. Холла и других. Параллельно нижним центральным рядам в группах активному изучению подверглись близкие к ним вопросы: теория размерностных подгрупп, степеней аугментационных идеалов в групповых кольцах, теория колец Ли, ассоциированных с группами и т.д. В настоящее время, это глубоко изученная и популярная область теории групп, которая, вероятно, всегда останется актуальной. Одним из самых подробных и хорошо изложенных руководств по теории нижних центральных рядов и коммутаторному исчислению является известная монография В. Магнуса, А.Карраса и Д.Солитера [MKS],
Первые топологические приложения теории нижних центральных рядов и нильпотентных групп связаны с именами Дж. Милнора и Р.Фокса. Так в своей основополагающей работе [Mil], Дж. Милнор вводит понятие гомотопии для классических зацеплений и определяет алгебраические инварианты гомотопии, известные как /7-инварианты. В [Mil] и дальнейшей работе [Mi2] /2-инварианты определяются как коэффициенты разложения Магнуса параллели зацепления в группе дополнения к зацеплению. Альтернативным и несколько более удобным является определение /(-инвариантов как коэффициентов разложения параллели по некоторому базису Холла. Таким образом, гомоморфизм из свободной группы ранга равного количеству компонент

зацепления Ь Г,„ в фундаментальную группу дополнения к зацеплению О(Ь) — 7Г1(53 Ь), отображающий порождающие в меридианы, индуцирует изоморфизм Рт/-укГт — <3(Т)/УкС(Ь) если и только если д-инварианты для Ь длины < т равны нулю (такие зацепления часто называют ^’-срезанными или Д-кобордантными нулю). Ввиду теоремы Столлингса, которая проходит через всю данную работу, Д-инварианты представляют собой инварианты конкордантности.
Особый интерес представляют зацепления с нулевыми Д-инвариан-тами. Такие зацепления будем называть алгебраически срезанными. Важный класс алгебраически срезанных зацеплений образуют ограничивающие зацепления - зацепления, компоненты которых ограничивают попарно непересекающиеся поверхности Зейферта и их частный случай гомологически ограничивающие зацепления. Естественный вопрос, который встает в этой теории: верно ли, что любое алгебраически срезанное зацепление конкордантно ограничивающему, гомологически ограничивающему зацеплению (или его собственному подза-цеплению). Этот вопрос исследовался многими топологами и в 1990 году Т. Кохраном и К. Орром [С01] был построен пример алгебраически срезанного зацепления, не конкордантного ограничивающему зацеплению. Проблема конкордантности подзацеплению гомологически ограничивающего зацепления остается открытой. Также отметим, что важнейшая в топологии 4-многообразий проблема о вложении 2-диска имеет два основных потенциальных пути решения (см, например [ВС^]): первый связан с изучением связи теории погруженных 2-дисков в 4-многообразия с ростом фундаментальной группы 4-многообразия, второй же связан с проблемой нуль-конкордантности некоторых конкретных зацеплений. Тут-то и всплывает проблема, поставленная Дж.Милнором в [ХП2] о существовании трансфинитных Д-инвариантов, которые, вообще говоря, могут не оказаться инвариантами конкордантности.
Алгебраическая интерпретация проблемы существования трансфинитных инвариантов конкрдантности есть, по сути, проблема Кохрана-Милнора (см, например, [С1]): верно ли, что = 7ш+1 для группы зацепления с нулевыми Д инвариантами. Здесь мы приходим к трансфинитным нижним центральным рядам в группах.
и произвольное к-е соотношение:
Раскладывая по степеням Ъ каждый коммутатор, аналогично (8), учитывая, что все комутаторы [а, [а, [а, Ь,^.6]]] коммутируют по модулю угп.+б-Ё'п+ъ получим:
Далее, будем сокращать количество соотношений следующим образом. Уберем первое соотношение, заменив во всех остальных [а, [а, 6]] на [а, [а, [а, Ъ, 6]]], тем самым все коммутаторы в оставшихся соотношениях будут иметь вес не меньше 4, как коммутаторы в свободной группе ранга 2. Далее, благодаря второму соотношению, заменим [а, [о, Ь, 6]] на коммутаторы старшего веса и т. д. мы получим одно единственное (п + 1)-е соотношение:
где [а, [а, 6]] и остальные (кроме последнего) разложены через коммутаторы достаточно высокого веса.
Разложив аналогично приведенным выше рассуждениям [а, [а, Ьп+1]], получим
[а, [а, 67ч.... , 6]] • (коммутаторы веса > п + 5) = [а, [а. [а, Ъ, ... , Ь]]].
и эти коммутаторы нетривиальны в Е^/^чпдбДи-1- Остается заметить, что

Отсюда видно, что по модулю у2п+бЕп+
[а,[а [а, & .,&]]] = [а,[а . [а, &, &]]].
п+2 п+1 п-ЬЗ п~Ь
в группе Еп+1/^2п+бЕп+1 для к = 1,...,п + 2.