Теория пересечений в пространствах мероморфных функций на комплексных кривых

• Автор: Ландо, Сергей Константинович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 156 с.

0.1 Разветвленные накрытия сферы

0.2 Исторический обзор

0.2.1 Задача Гурпица

0.2.2 Работы Ляшко, Лойенги, Арнольда

0.2.3 Работы Медных

0.2.4 Подход Гульдена и Джексона

0.3 Структура работы

0.4 Благодарности

1 Общие сведения о классификации разветвленных накрытий и формулировка основных теорем

1.1 Классификация мероморфных функций

1.2 Определения и формулировка основных результатов

1.2.1 Определения
1.2.2 Стратификация пространства многочленов на рациональной кривой и классы изоморфизма многочленов
1.2.3 Пространства мероморфных функций на кривых произвольного рода и классы изоморфизма общих мероморфных функций
1.2.4 Стратификация пространства Гурвица функций, неветвящихся над бесконечностью
1.3 Другие интерпретации задачи классификации
1.3.1 Разложение перестановок в произведение перестановок из данных классов сопряженности
1.3.2 Графы на поверхностях и кактусы, ассоциированные с мероморфяыми функциями
1.4 Применения чисел Гурвица в физике

• 1.4.1 Инварианты Громова-Виттена
1.4.2 Теория струн
2 Отображение Ляшко-Лойенги и его связь с классификацией
2.1 Определение и алгебраическая природа
отображения Ляшко-Лойенги
2.2 Связь между классификацией и степенью отображения ЛЛ
2.3 О вычислении степени отображения ЛЛ
2.4 Трапсверсальные и относительные
трансвереальные кратности
Л 3 Пространства многочленов на рациональной кривой
3.1 Классификация многочленов общего положения
3.2 Примитивные страты
3.3 Вспомогательные отображения и вычисление кратностей
3.4 Трансверсальность пересечения примитивных стратов в
пространстве критических точек
4 Пространства Гурвица
4.1 Переход к общему случаю. Примеры
4.1.1 Случай Арнольда: рациональные функции с двумя полюсами
4.1.2 Рациональные функции с тремя полюсами
4.1.3 Простые квалиоднородные особенности серии В
4.2 Пространство модулей комплексных структур на кривых рода ус п отмеченными точками и компактификация
^ Делинл-Мамфорда
4.3 Расслоения над пространствами модулей и их классы Черна
4.4 Вычисления
4.4.1 Случай рода
4.4.2 Случай рода
4.5 Пространство Гурвица как конус над пространством модулей кривых
4.5.1 Конусы и проективные конусы
4.5.2 Пространство обобщенных главных частей в точке
4.5.3 Конусы обобщенных главных частей
4.5.4 Расслоение Ходжа
4.5.5 Вложение пространства Гурвица в конус главных частей

4.6 Продолжение отображения Ляшко-Лойенги
на пополненное пространство Гурвица
4.6.1 Вырождение полюсов и стабильные отображения
4.6.2 Продолжение отображения ЛЛ
4.7 Старшие классы Сегре . . . ■
4.7.1 Классы Сегре расслоений и конусов
4.7.2 Классы Сегре конусов главных пастей
4.7.2 Кратность отображения ЛЛ и классы Сегре
5 Применение глобальной теории особенностей в теории пересечения на пространствах Гурвица
5.1 Страты коразмерности 1 в пространстве
рациональных функций
5.1.1 Когомологии пространства Гурвица рациональных
функций
5.1.2 Вывод соотношений
5.2 Общее понятие степени и сведения
ил глобальной теории особенностей
5.2.1 Степень
5.2.2 Особенности, относительные классы Черна и универсальные многочлены
5.3 Особенности расслоенных отображений
с одномерными слоями
5.3.1 Локальные особенности
5.3.2 Характеристические классы особенностей
5.3.3 Остаточные многочлены для мультиособешюстей
5.3.4 Остаточные многочлены
для мультимультиособснкостей
5.4 Относительные классы Черна
универсального отображения
5.4.1 Теорема Гротендика-Римана-Роха
5.4.2 Относительные классы Черна
универсального расслоения
5.4.3 Гомоморфилмы прямого обрала
5.4.4 Соотношения на классы когомологий в Б
5.5 Применение универсальных многочленов к
илучению стратификации пространств Гурвица
5.5.1 Универсальные выражения для стратов
5.5.2 Степени стратов рода
5.5.3 О неилолированиых особенностях

3 Пространства многочленов
Тем самым, кратность отображения ЛЛ на пространстве V определяется весами переменных, и она равна
м№) • • • _ ЧУ + !)••• + 1) _ , , ым
щ(р2). ■ ■ (р11+х) 2...(р4-1)
Теорема Ляшко-Лойепги вытекает теперь ил доказанного равенства и леммы 3.1.
3.2 Примитивные страты
Приведенное в разделе 3.1 доказательство теоремы Ляшко-Лойенги по-^ чти дословно переносится на примитивные страты. Перенос основывается на наблюдении, согласно которому замыкание каждого примитивного страта допускает полиномиальную параметризацию векторным пространством. Рассмотрим, например, страт Максвелла. Он соответствует случаю двух различных критических точек с общим критическим значением. Паспорт X страта Максвелла состоит из р — 1 разбиения и определяется единственным вырожденным разбиением Л'! = Iм-322; остальные разбиения Хр г = 2,... ,р. — 1 невырожденные, Л"; = 1'1-121.
Общий многочлен в страте Максвелла имеет вид
/(х) = {х2 +рх + р2)'1{х'1~* + р"х>‘~1 4 + р"_3) 4-Р;+1,
где р"4-2р| = 0. Другими словами, мы параметризуем страт Максвелла гиперплоскостью р" + 2р = 0 в /{-мерном пространстве с координатами £ р",... ,р^_з,Р1)Р2>Р{!+1' Ограничение действия группы С* на пространстве многочленов V на страт Максвелла задает следующие веса переменных:
г = 1,2; щ(р") = г, г = 1 /{ —3; и>{р'11+1) = р + 1.
С другой стороны, Т(Х) = 1/*“221, и общий многочлен в образе имеет вид
(1(1) = (1-4 ОЗД, где 11 = р1 +1 — кратное критическое значение и
<1'(1) = I"-2 4- <1 Р~3 + 41"“1 4- • ■ ■ 4- й„