Структурные теоремы в теории самоподобных фракталов

• Автор: Тетенов, Андрей Викторович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Горно-Алтайск, Новосибирск
• Количество страниц: 216 с. : ил.

Оглавление
Введение

§1. Общая характеристика работы

1°. Актуальность проблемы

2°. Цель работы

3°. Научная новизна

§2. Определения и обозначения

1°. Компактные пространства

2°. Сжимающие отображения

3°. Вектор-множества и псевдополугруппы

§3. Сжимающие подобия в

1°. Осевые подпространства
2°. Локсодромы, порожденные подобиями в Еш
Глава 1. Общие вопросы теории самоподобных множеств
§1. Самоподобные множества
1°. Инвариантные множества систем сжимающих отображений
2°. Шифт-пространство и индексная параметризация аттрактора
3°. Самоподобные структуры — метрические и топологические
4°. Теорема Хатчинсона для топологических самоподобных структур
5°. Метризуемость топологически самоподобных множеств
6°. Пример, показывающий существенность условия (Р)
7°. Морфизмы самоподобных структур
8°. Самоподобные множества в гиперпространстве
9°. Самоподобные множества в X, порожденные операторами Хатчинсона
§2. Граф-ориентированные системы

1°. Постановка вопроса
2°. Ориентированные графы
3°. Граф-ориеитированные системы сжимающих отображений
4°. Каноническая граф-ориентированная система графа Г
5°. Индексная параметризация К
6°. Самоподобные структуры на вектор-множествах и граф-ориен-
тированные системы
7°. Морфизмы граф-ориентированных самоподобных структур
8°. Связность компонент аттрактора граф-ориентированной системы
§3. Системы с жордановыми аттракторами
1°. Системы с жордановыми аттракторами
2°. Линейная параметризация
§4. Хаусдорфова размерность аттрактора
1°. Размерность подобия
2°. Условие открытого множества
3°. Ассоциированное семейство. Слабое условие отделимости
Глава 2. Ципперы и мультиципперы
§1. Ципперы
1°. Линейная параметризация
2°. Жордановы ципперы с ограниченным искривлением
3°. Теоремы об искривлении самоподобных жордановых цшшеров
4°. Существование самоподобных множеств, не представимых в виде аттрактора циппера
§2. Мультиципперы
1°. Определение мультиципиера
2°. Жордановы мультиципперы с ограниченным искривлением. 138 §3. Представление континуумов мультиципперами
Глава 3. Теоремы о строении самоподобных жордановых дуг
§1. Жесткость самоподобных жордановых дуг, обладающих линейной параметризацией
1°. Вспомогательные утверждения
2°. Построение е-сети и доказательство теоремы 3

3°. Пример, реализующий случай (3) Теоремы
§2. Самоподобные жордановы дуги на плоскости
1°. Леммы о плоских жордановых дугах
2°. Доказательство основных утверждений
§3. Представление жордановых дуг в виде аттракторов мультицшшеров
1°. Леммы о накоплении поддуг
2“. Разбиение на элементарные поддуги
3°. Доказательство Теоремы
§4. Теорема о жесткости одномерных самоподобных структур
Глава 4. Выпуклые оболочки самоподобных множеств
§1. Выпуклый аттрактор системы подобий
1°. Выпуклые оболочки
2°. Выпуклый оператор Хатчинсона
§2. Множество крайних точек
1°. Множество крайних точек и его субинвариантность
§3. Условие открытого выпуклого множества и равенство нулю Хаусдор-
фовой размерности множества крайних точек
1°. Условие открытого выпуклого множества (OCSC) и его следствия
2°. Оценки числа граничных компонент
3°. Теорема о размерности множества крайних точек
§4. Равенство нулю одномерной меры Лебега множества крайних точек
1°. Лемма о разбиении
2°. Теорема об одномерной мере множества крайних точек
Литература

8/9, д12{х) — + 2/3. В этом случае полугруппы Оц и С22 раины и совпадают
с подполугруппой Я = (ж/9, ж/9 + 2/9, ж/9 + 2/3, ж/9 + 8/9)
ч>С?У= «КД+м
полугруппы, определяющей канторово множество на У = [0,1]. Морфизм второго рода Ф : (X, С) —» (У, Я1) задается нарой отображений Р, Ф, где Я = (И, Ы), а Ф переводит Зп, <712,312,5г1> з1и&22 в соответствующие отображения Ы, ж/9, ж/9 + 2/9, ж/9 + 2/3, ж/9 + 8/9 множества У в себя, содержащиеся в Я1.
3. Пусть X = (Х1,Х2), X] = [0,1/4], Х2 = [1/4,1], а псевдополугруппа (7 задается порождающими ((ж) = ж/3,31Х(ж) = ж/9+2/9, 321(ж) = х/27+2/27, 312(т) = ж/3 + 2/3,д2(ж) = ж/9 + 2/9,д2(ж) = ж/3 + 2/3. Пусть У = [ОД], ай н (ж/3,ж/3 + 2/3) — полугруппа, определяющая канторово множество на У = [0, ]]. В этом случае полугруппы Си и (722 являются бесконечнопорожденными подполугруппами
в Я.
Морфизм Ф : (X, (7) —> (У, Я) задается парой отображений Р, Ф, где Р = (Л,/г)- пара вложений Д ; [0,1/4] -+ [0,1], /г : [1/4,1] —У [0,1] а Ф переводит Зп, 3? 1,312, Зг 1,322> З22 в соответствующие отображения множества У в себя, содержащиеся в Я.
Определение 0.2.10. Пусть {Хии £ Я} — вектор-множество с множеством индексов и, а С — псевдополугруппа, действующая па X. Пусть УсХ— такое подмножество в X что (7(У)СУ. Пусть, для отображения д £ Ст, д' обозначает сужение отображения д на множество Уу. Тогда множество С всех таких сужений д' является псевдополугруппой, действующей на вектор-множестве У и называется сужением псевдополугруппы О на вектор-множество УаХ.