Алгебры голономии лоренцевых многообразий

• Автор: Галаев, Антон Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Саратов
• Количество страниц: 91 с.

ГЛАВА I. Основные сведения

11 Группы и алгебры голономии: определения и фак1Ы

1.2. Связные неприводимые группы голономии римановых и псевдоримаповых многообразий

13 Результат Л Берарда-Бержери и А. Икемакхена

ГЛАВА II. Группы движений пространств Лобачевского, группы преобразования подобия евклидовых пространств и группы юлономии лоренцевых многообразий

2 1. Транзитивные группы преобразований подобия евклидовых пространств .

2 2 Движения пространств Лобачевского

2 3 Классификация зранзитивиых групп преобразований подобия евклидовых пространств и геомечрическое доказаюльпво результата Л Берарда-Бержери и А. Икемакхена

2 4 Транзитивные группы движений пространства Лобачевскою 77!+1

ГЛАВА III Пространства тензоров кривизны и алгебры Берже

3 1 Предварительные сведения

3 2 Структура пространс! в тензоров кривизны
3 3 Слабые алгебры Берже
3 4 Примеры
ГЛАВА IV Конструкции метрик и классификационная теорема
4 1 Координаты Валкера и примеры метрик Л Берарда-Бержери и
А Икемакхена
4 2 Конструкции метрик, реализующих все алгебры Берже
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Актуальность темы. Понятие группы голоиомии впервые было введено в работах Э Картана [22] и [24], в [23] он использовал группы голоиомии для классификации римановых симметрических пространств
Группа голоиомии может быть определена для произвольного главного или векторного расслоения СО СВЯЗНОС1ЬЮ, для этого необходимо только понятие параллельного переноса. Рассмотрим произвольное л-мерное многообразие М с линейной связностью V Зафиксируем точку х Е М Г руина голономии Но1х для связности V в точке х е М есть под1 руппа Ли группы Ли СЬ(ТХМ) ~ С?1/(п) (все группы и алгебры Ли будем рассматривать над полем К), состоящей из параллельных переносов вдоль всех кусочно-гладких петель в точке х Соответствующая алгебра Ли С %{ТХМ) ~ д!(п) называется алгеброй голоиомии в точке х Для связного многообразия группы голоиомии и алгебры голономии в различных точках изоморфны, и можно I оворить о группе и алгебре голоиомии многообразия
Важность группы голономии состоит в том, что группа голономии содержит информацию обо всех параллельных объектах на многообразии А именно, имеется взаимно-однозначное соответствие между параллельными тензорными полями типа (г, а) на многообразии и тензорами типа (г, я), заданными па касательном пространстве в произвольной точке многообразия и сохраняемыми тензорным продолжением группы голономии А также существует взаимно-однозначное соответствие между параллельным распределениями ранга г на многообразии и подпространствами касательного пространства размерности г в некоторой точке многообразия, сохраняемыми 1руппой голоиомии Таким образом, если мы знаем группу голоиомии многообразия, то геометрическую задачу нахождения параллельных тензорных полей или параллельных распределений на многообразии можно свести к

более простой алгебраической задаче нахождения инвариантных элементов или инвариашных подпространств для соответствующих представлений группы голономии Аналогично, алгебра і олономии содержит информацию обо всех параллельных объектах на многообразии, заданных локально
Поэтому возникает задача классификации групп голономии Прежде всего отметим, что для неодносвязного проеіранетва группа голоиомии может быть несвязной, и в этом случае какие-либо результаты отеукчвукп По эюй причине будем рассматривать связную компонешу единицы группы і олономии Это равносильно изучению алгебры і олономии В дальнейшем будем рассмаїривать только связные группы голоиомии
В 1965 году Дж Хано и X. Одзеки показали, что всякая связная линейная группа Ли G С GL(n) может быть реализована как группа голоиомии пространства линейной связности [37]. Эта связность, как правило, имеет ненулевое кручение. Значит для произвольных пространств линейной связности классификации групп голономии быть не может и нужно вводить дополнительные условия. Таким условием является обращение тензора кручения в ноль, Тог = 0. В этом случае первое тождество Бьянки имеем вид
R(X, Y)Z + R(Y, Z)X + R(Z, X)Y = 0, для всех X,Y,Z Є x(M),
где R - тензор кривизны многообразия Для произвольной линейной алгебры g С g((n) рассмоірим пространство тензоров кривизны типа д,
77(g) — {Re Hom(Rn A R”, д)|Д(н A v)w + R(v A w)u + R(w A u)v
для всех u,v,w Є R”} и векюрное подпространство
L(77(g)) = &рап{Л(м A v)R є 77(g), и, v є Rn} С g.
Согласно теореме Амброза-Зингера (теорема F) атгебра голономии порождается значениями тензора кривизны в различных точках многообразия Значит для алгебры голоиомии )о[х С gl[ТХМ) многообразия с линейной связностью без кручения мы имеем L(77([}o[x)) = l)olx Подалгебры

Если G действует слабо неприводимо и не является неприводимой в E1,n+1, то G сохраняет изотропную прямую I С E1,n+1 Предположим, что I = Ер, тогда G является группой типа 1,2,3 или 4.
Мы утверждаем, чю подгруппа К А N С SO°(l,n + 1) не действуй транзитивно в Ln+l. Действительно, любой элемент из К А N переводит векюр р — q £ Ln+l в некоторый вектор и — д, где и £ span{p,ei en}, следовательно, нет элементов из К A X, которые переводят р — д Е Ln+l в р — д £ Ln+i. Значит, группы типов 2 и 4 не действуют транзитивно в Ln+l.
Мы должны доказать, что группы типов 1 и 3, т.е. группы вида (А х Н) А N и (Аф х Н) A N, действуют транзитивно в Ln+1 Пусть v — хр + а + yq £ Ln+1 и w = хр + /3 + yq £ Ln+1, где а,/3 £ Е Тогда 2ху + т](а,а) = —1 и 2ху + г](Р,Р) = —1. Пусть X = Элемент
О id О О

£ N переводит и в 1C.
Пусть v = хр + Р + Hiq £ Ln+1, те 2ху^ + р(Р,Р) = —1. Элемент
/ i
/ sx о 0

О id О О О
£ А переводит w bv. Элемент
X ii
о о о Ф(^) о о of,
II
£ Лф переводит хи в хр + Ф(^)(/?) + уд £ Ьп+1 Таким образом, существуют элементы в (А х Н) А N и (Аф х Я) АХ, переводящие иву, т е группы (Ах Н) АХ и (у!ф х Н) АХ действуют транзитивно в Ьп+1.
Заметим, что элементы подгруппы Н С б сохраняют точку р — д £ Ьп+1 Так как dim Ьп+1 = бт(А А X) = dim(Лф АХ) и пространство Ьп+1 одиосвязно, получаем, что группы вида А А X и Аф А X являются единственными связными подгруппами в 5'0°(1,7г + 1), которые действуют просто транзитивно в Ьп+1. □