Геометрия и комбинаторика виртуальных узлов

• Автор: Мантуров, Василий Олегович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 387 с. : ил.

Оглавление

Глава 1. Обзор содержания диссертации

1.1. Введение

1.1.1. Основные определения и конструкции

1.2. Мотивация

1.3. Цели исследования

1.4. Методы исследования

1.5. Научная новизна

1.6. Положения диссертации, выносимые на защиту

1.6.1. Другие важные результаты

1.6.2. Примеры

1.7. Апробация диссертации. Публикации по теме диссертации
1.8. Структура и объем диссертации
Глава 2. Виртуальные узлы и трехмерная топология
2.1. Теорема Куперберга
2.2. Род виртуального узла
2.2.1. Два типа связного суммирования
2.2.2. План доказательства теоремы
2.2.3. Процесс дестабилизации
2.3. Распознавание виртуальных узлов
ГЛАВА 3. Дистрибутивные группоиды в теории виртуальных узлов
3.1. Группоиды и их обобщения
3.1.1. Виртуальный группоид
3.1.2. Инвариант раскрасок
3.1.3. Виртуальный модуль Александера
3.2. Длинные виртуальные узлы
3.2.1. Вопрос о коммутируемости длинных узлов
3.3. Виртуальные узлы и бесконечномерные алгебры Ли
3.4. Иерархия виртуальных узлов
3.4.1. Плоские виртуальные узлы
3.4.2. Алгебраический формализм
3.4.3. Примеры
ГЛАВА 4. Полином Джонса. Атомы
4.1. Основные определения
4.1.1. Атомы и узлы
4.1.2. Модель затягивающего дерева для скобки Кауфмана
4.2. Полином Е. Вопросы минимальности
4.2.1. Старший и младший коэффициенты скобки Кауфмана
4.2.2. Полином Н
4.2.3. Примеры применения полинома Е
Оглавление
4.2.4. Поверхностная скобка и инвариант
Глава 5. Комплекс Хованова для виртуальных узлов
5.1. Введение
5.2. Основные используемые конструкции
5.2.1. Полином Джонса 3: другая нормировка
5.3. Комплекс Хованова с коэффициентами в поле Ъч
5.4. Комплекс Хованова удвоений узлов
5.5. Атомы и комплекс Хованова
5.6. Затягивающее дерево для комплекса Хованова
5.7. Полином Хованова и фробениусовы расширения
5.7.1. Фробениусовы расширения
5.7.2. Описание конструкции Хованова
для фробениусовых расширений
5.7.3. Геометрические обобщения посредством атомов
5.7.4. Алгебраические обобщения
5.8. Минимальные диаграммы классических и виртуальных зацеплений
5.9. Минимальные диаграммы длинных виртуальных узлов (согласно результатам гл.4)
ГЛАВА 6. Гомологии Хованова виртуальных узлов с произвольными коэффициентами265
6.1. Введение. Основной результат
6.2. Атомы и скрученные виртуальные узлы
6.3. Определение комплекса Хованова для виртуальных узлов
6.3.1. Определение частичных дифференциалов
6.4. Формулировка и доказательство основной теоремы
6.5. Обобщения
6.5.1. Гомологии зацеплений и фробениусовы расширения
Глава 7. Виртуальные косы
7.1. Определения виртуальных кос
7.2. Виртуальные косы и виртуальные узлы
7.2.1. Представление Бурау и его обобщения
7.3. Скобка Кауфмана для классических и виртуальных кос
7.4. Нормальная форма виртуальных кос по В.Г.Бардакову
7.5. Инвариант виртуальных кос
7.5.1. Построение основного инварианта
7.5.2. Представление группы виртуальных кос
7.5.3. О полноте в классическом случае
7.5.4. Некоторые следствия
7.5.5. Насколько силен инвариант ТЧ
ГЛАВА 8. Инварианты Васильева
8.1. Инварианты Васильева классических узлов
8.2. Подход Гусарова-Поляка-Виро к инвариантам Васильева виртуальных узлов
8.3. Подход Кауфмана
8.3.1. Инварианты, порожденные полиномом
8.4. Инварианты Васильева, порожденные инвариантом Б
8.5. Графы, хордовые диаграммы и полином Кауфмана
8.6. Доказательство гипотезы Васильева
Оглавление

8.7. Бесконечность количества длинных узлов,
имеющих фиксированное замыкание
1.2. Мотивация

Систематический поиск виртуальных узлов с тривиальным полиномом Джонса и попытка выявить среди них классические является, с одной стороны, подходом [БКМ] к классической давно стоящей задаче, которая до сих пор не решена, а с другой стороны стимулирует постановку новых задач о виртуальных узлах и, следовательно, об узлах в утолщенных поверхностях.
Другая такая задача — вопрос о распознавании инвариантами Васильева обратимости узлов — до сих пор не решена в классическом случае, но легко решается в виртуальном случае.
7. В задаче распознавания плоских виртуальных узлов важную роль играют филаментации (см. работы Д. Хренсесина и Л. Кауфмана [Н, НК]). Это понятие было изначально введено С.Картером [Саг] для изучения вопроса, когда иммерсированная в трехмерное пространство кривая ограничивает диск, погруженный в это пространство. Таким образом, изучение плоских виртуальных узлов дает (частичный) ответ на вопросы о погружениях.
8. Виртуальные узлы стимулируют развитие новых теорий, напр., теория виртуальных графов Б.Меллора и Т.Флеминга [ГМ]; в этой работе приводятся обобщения метода виртуальных группоидов, предложенного в настоящей диссертации.
9. В диссертации (главы 4,5,6,8) установлен единый подход к теории виртуальным и классическим узлам посредством атомов. С точки зрения атомов и гауссовых диаграмм, а также некоторых инвариантов (скобка Кауфмана, инварианты Васильева, гомологии Хованова) классические узлы естественно рассматривать как составную часть множества виртуальных узлов.
10. В работах ЬЪ, ZZ2] хорошо известные методы перечисления комбинаторных объектов посредством гауссовых интегралов нашли свое применение для перечисления альтернированных диаграмм виртуальных узлов, которые возникают естественным образом при перечислении неплоских четырехвалентных графов.