Комбинаторные 2-усеченные кубы и приложения

• Автор: Володин, Вадим Дмитриевич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 79 с.

Оглавление
Введение
1 Выпуклые многогранники
1.1 Простые и симшшциальные многогранники
1.2 Перечисляющие полиномы
1.3 Флаговые простые многогранники
1.4 Нестоэдры
2 Комбинаторные 2-усеченные кубы
2.1 Операция срезки грани и ее свойства
2.2 Дифференциальное кольцо 2-усеченных кубов
2.3 Геометрические реализации 2-усеченных кубов
2.4 Гипотеза Гала
2.5 Гипотеза Е. Нево и Т. Петерсена
3 Классы 2-усеченных кубов
3.1 Флаговые нестоэдры
3.1.1 Кубические реализации флаговых нсстоэдров
3.2 Обобщенные ассоциэдры
3.3 Граф-кубиэдры и их обобщения
4 Перечисляющие полиномы серий 2-усеченных кубов
4.1 Индуктивные формулы для серий граф-ассоциэдров
4.1.1 Ассоциэдры

4.1.2 Циклоэдры
4.1.3 Пермутоэдры
4.1.4 Стеллоэдры
4.2 Точные верхние и нижние границы для семейств граф-
ассоциэдров
4.3 Производящие функции семейств граф-ассоциэдров
5 Флаговые симплициальные сферы
5.1 Операция стягивания ребра и ее свойста
5.2 Комбинаторика флаговых симплициальных 3-многогранников
6 Приложения
6.1 Торические многообразия над 2-усеченными кубами
6.2 Мылые накрытия 2-усеченных кубов

Введение
Выпуклый многогранник размерности п называется простым, если каждая его вершина принадлежит ровно п гиперграням. Такие многогранники естественно возникают и играют важную роль в современной алгебраической и симплектической геометрии, алгебраической топологии и теории особенностей. Они являются ключевыми объектами торической геометрии и торической топологии (см. [ВII], [БП]).
Важным комбинаторным инвариантом выпуклого многогранника является /-вектор, г-я компонента которого равна числу его г-мерных граней. В случае простых многогранников важную роль играют также д-,к-и 7-векторы, которые получаются из /-вектора применением соответствующих невырожденных линейных операторов. В терминах этих векторов формулируются комбинаторные свойства как всех простых многогранников, так и их специальных классов.
Задача о верхних и нижних границах для /-векторов простых многогранников с фиксированным числом гиперграней решена в [Ва1],[Ва2] и [Мс1]. Фундаментальная задача описания условий на целочисленный вектор, необходимых и достаточных, чтобы он был /-вектором некоторого простого многогранника, была решена в [ВЬ], [Б!]. Ответ в этой задаче был сформулирован П. МакМюлленом (см. [Мс2]) в виде гипотезы в терминах ^-векторов. Первым необходимость условий МакМюллена доказал Р. Стенли (см. [Эй]), используя что /г-вектор простого многогранника совпадает с вектором четных чисел Бетти соответствующего торического многообразия (возможно, особого). Этот факт позволил свести задачу к задаче о

Теорема 2.16. Для любого 2-усеченного куба Р существует флаговый симплициалъный комплекс Д(Р), такой что 'у(Р) = /(Д(Р)).
Пусть Р произвольный 2-уссченпый куб, заданный последовательностью срезок граней куба. Пусть /д,..., Рт гиперграни, полученные в результате сечения. Для произвольной грани <5 С Р (включая <3 = Р) построим симплициальный комплекс Д(<3) на множестве вершин
тт(р) = мр1),...,№(рт)}.
Замечание 2.17. Пусть многогранник Р получен из многогранника Р путем 2-усечения вдоль грани С а Р. В этом случае новая гипергрань сечения Р0 будет комбинаторно эквивалентна многограннику 0x1. Произвольная грань <3 многогранника Р либо не меняет комбинаторный тип (при (3 Д С или С) Г в = $), либо подвергается 2-усечению вдоль грани <3 П С. Поэтому, для каждой грани многогранника <3 С Р существует единственная грань <3 С Р, такая что либо грань <3 получена из грани <3 путем 2-усечения вдоль грани (7П(2, либо грань <3 равна (или аналогична) грани <3 С Р, либо <3 — С) х I С С х I.
Конструкция 2.18. Для Р = Р* имеем IV(Р) = 0, поэтому Д(<3) = 0 для всех граней <3 С Р.
Предположим, семейство комплексов уже построено для всех граней многогранника Р, полученного из куба последовательностью 2-усечений граней, соответствующих гиперграням сечения Р,, Рт_1 многогранника Р. Пусть многогранник Р получен из многогранника Р путем 2-усечения вдоль грани С Р. Тогда, И7(Р) — И/(Р)и{№(Рт)}, где ад(Рт) соответствует гиперграни Рт многогранника Р.
Рассмотрим произвольную грань 0 С Р. Пусть С} соответствующая грань из замечания 2.17. Тогда,
- I Д(<3) и (Д(С7т П<3)*,ш(Рт)), если <3 получена из <3 срезкой Ст П <3;
I Д(<3), в остальных случаях.
(2.3)