Внешнегеометрические свойства выпуклых гиперповерхностей в пространствах постоянной кривизны и некоторые геометрические свойства неполных римановых пространств неположительной кривизны

• Автор: Ионин, Владимир Кузьмич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 146 с. : ил

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение

ГЛАВА I. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ

§ 1. Поверхности и тела

§ 2. Сферы и диски пространства Ек

§ 3. Локальные кривизны и радиусы кривизны

§ 4. Глобальные кривизны и радиусы кривизны

ГЛАВА П. ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ НЕКОТОРЫМИ ФУНКЦИОНАЛАМИ, ЗАДАННЫМИ НА ПОДМНОЖЕСТВАХ П

§ 1. Определение функционалов Л, Л, М, р

§ 2. Множество ГЬ С П

§ 3. Обобщение теоремы 1 в случае К

§ 4. Множество Пг С П
§ 5. Зависимость между локальными и глобальными
кривизнами
§ 6. Множество Пз С П
§ 7. Множество П4 С П
ГЛАВА III. КЛАССЫ ВЫПУКЛЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ С
ОГРАНИЧЕНИЯМИ НА ЛОКАЛЬНЫЕ КРИВИЗНЫ
§ 1. Поверхности вращения
§ 2. Сведение некоторых задач для компактных выпуклых
поверхностей к задачам для поверхностей вращения
§ 3. Четыре леммы
§ 4. Выпуклые поверхности с ограничениями
на максимальные и минимальные радиусы кривизны
§ 5. Следствия теорем 13 и 14
§ 6. О диаметрах выпуклых поверхностей
с ограниченной снизу гауссовой кривизной

ГЛАВА IV. ГЛОБАЛЬНО И ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ
МНОГОГРАННИКИ
§ 1. Формулировка результатов
§ 2. Доказательство теоремы 17
§ 3. Доказательство теоремы 18
§ 4. Доказательство теоремы 19
ГЛАВА V. ЗАМКНУТЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ И
ИЗОПЕРИМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА В ПРОСТРАНСТВАХ НЕПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ
§ 1. Замкнутые геодезические
§ 2. Изопериметрические неравенства
Список литературы

ВВЕДЕНИЕ
Работа состоит из двух частей. В первой части (главы НУ) изучаются внешнегеометрические свойства выпуклых гиперповерхностей в пространствах постоянной кривизны. Во второй части (глава V) изучаются некоторые свойства внутренней геометрии неполных римановых многообразий неположительной и строго отрицательной секционной кривизны.
Изложим некоторые результаты первой части (теорема 1 п. 2.2.1 и теоремы 13 и 14 п. 3.4.1). Каждой компактной выпуклой поверхности Ф сопоставим четверку чисел (А, Л, М, /л), где А — радиус наибольшей сферы, которой можно прикоснуться изнутри к любой точке поверхности Ф; Л — радиус наибольшего шара, вписанного в Ф; М — радиус наименьшей сферы, к которой можно изнутри прикоснуться любой точкой поверхности Ф. Иначе говоря, А — радиус наибольшей сферы, которую можно свободно прокатить по внутренней стороне поверхности Ф, а ц — радиус наименьшей сферы, по внутренней стороне которой можно свободно прокатить поверхность Ф.
В теореме 1 находится зависимость между числами этой четверки, причем зависимость эта точна, т. е. для любой четверки, удовлетворяющей этой зависимости, найдется соответствующая выпуклая поверхность. Для поверхностей евклидова пространства эта зависимость сводится к неравенствам
0 (д - А)2 > (н - Л)2 + (М- А)2,
если выпуклая поверхность Ф отличается от сферы.
В теоремах 13 и 14 решается та же задача, что и в теореме 1 только для класса поверхностей, у которых в каждой точке наименьший радиус кривизны Гпйп и наибольший радиус кривизны гтах удовлетворяет соответственно условиям и(гтщ, гтах) < 1 и и(гт[П) гтах) > 1, где и — непрерывная неубывающая по каждому аргументу функция от двух переменных. Зависимость между числами четверки (Л, Л, М, ц) при этом сводится к неравенствам, которые выглядят значительно сложнее неравенств теоремы 1.
Доказательство этих и других теорем первой части работы основаны на

A = О эти сферы вырождаются в две точки А и В. Проведем еще сферу Sc радиуса Л с центром в точке С. Пусть Ф — граница выпуклой оболочки множества SaUSb^Sc- Ясно, что Ф 6 П2, А = А(Ф), Л = Л(Ф), М = М{Ф). Теорема 4 доказана.
2.4.4. Теорема 5. Если К > 0, поверхность Ф принадлежит Пг и А = А(Ф), Л = Л(Ф), М = М{Ф), то
0<А<Л<М< —у=,

причем ни одно из этих неравенств не может быть усилено.
Доказательство. Так как поверхность Ф отличается от сферы, то Л < М. Так как Ф — выпуклая поверхность, то ее тело Т(Ф) состоит из внутренних точек полусферы сферы Ек, т. е. некоторого шара Е радиуса Далее, из того, что Т(Ф) — замкнутое множество, следует, что шар Е можно заменить шаром Е' меньшего радиуса так, что Т(Ф) по-прежнему будет состоять из внутренних точек нового шара Е'. Из всего этого вытекает, что

Осталось доказать неравенство А < Л. Допустим, что А = Л. Это значит (так как Ф отличается от сферы), что существуют две различные сферы S% и S2 принадлежащие телу Т(Ф). Обозначим Ф границу тела сonv(S U S2). Ясно, что Т(Ф) принадлежит Т(Ф), а поверхность Ф входит в множество Пг- Пусть центры сфер Si и S2 находятся соответственно в некоторых точках Ая В. Нетрудно показать, что для любой внутренней точки С отрезка [А, В] найдется сфера S с центром в С, радиус которой будет превосходить Л. Но так как S С Т(Ф) С Т(Ф), это противоречит тому, что Л — радиус сферы вписанной в поверхность Ф. Неравенства теоремы 3 доказаны.
Точность этих неравенств доказывать не будем, так как она доказывается так же как точность аналогичных неравенств теоремы 4.
В следующих трех пунктах доказываются утверждения, которые потребуются при доказательстве теоремы 6.
2.4.5. Предложение. Если п = 2, К<0иу~ дуга орицикла, стягиваемая хордой S длины 2х, то расстояние от самой далекой точки дуги 7 до хорды S равняется
-у— Inch у/—Кх.