Гомологические и геометрические свойства граф-многообразий

• Автор: Светлов, Павел Викторович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 96 с.

1. Основные определения и вспомогательные леммы

1.1 Определение основных объектов. Классы ЭД1, ЯЛо и 2)

1.2 Графы. Уравнения и матрицы над графами

1.3 Инварианты граф-многообразия

1.4 Поверхности в граф-многообразиях

1.5 Согласованные наборы когомологических классов

и БКН-уравнение

1.6 Матрицы над графом Гм иих свойства

2. Доказательство теорем I и II

2.1 Свойство I

2.2 Свойство Н1

2.3 Свойство И
2.4 Свойство Е
2.5 Вспомогательные предложения
2.6 Свойство УИ
2.7 Свойство УЕ
2.8 Свойство КРС
3. Доказательства явных критериев
3.1 Критерий для свойств I и Н1
3.2 Критерий для свойства И
3.3 Критерий для свойства Е
3.4 Критерий для свойства NPC
3.5 Критерий для свойства УБ
3.6 Критерий для свойства УЕ
3.7 Нетривиальность теории
4. Результаты о бесконечных граф-многообразиях
4.1 Критерий Буяло и Кобельского
4.2 Торы скручиваний Дена с бесконечным линейным графом
4.3 Асимптотическое поведение КРС-метрик
4.4 Бесконечные граф-многообразия
с периодической граф-структурой
Список литературы

0.1. Теория римановых многообразий неположительной секционной кривизны является активно развивающейся областью современной геометрии. В части этой теории, относящейся к размерности три, особую роль играют граф-многообразия. Первое описание граф-многообразий появилось в 60-х годах в работах Ф. Вальдхаузена [28, 30]. После того, как У. Терстон сформулировал свою знаменитую гипотезу о геометризации [16, 3.45], а также инициировал изучение мультипликативных инвариантов трехмерных многообразий [16, 3.16], граф-многообразия стали предметом активного изучения и в этом контексте [17, 18, 31, 33]. Отметим также работы А. Фоменко с соавторами (см., напр., обзор [1]), в которых трехмерные граф-многообразия исследовались как изоэнергетические поверхности двумерных систем классической механики.
Классическими препятствиями к существованию метрики неположительной секционной кривизны (далее — УРС-метрики) на данном компактном многообразии М3 являются нетривиальность второй гомотопической группы П2{М3) и конечность фундаментальной группы яI (1113) . Таким образом, если мы интересуемся ИРС-метри-ками, то в области нашего внимания остаются неприводимые многообразия с бесконечной фундаментальной группой. Далее мы предполагаем, что все многообразия являются ориентируемыми и компактными, если не оговорено противное. Основываясь на результатах процитированных выше работ Ф. Вальдхаузена, В.Джейко и П. Шален [12], а также К.Йоханссон [13] показали, что в любом неприводимом многообразии с бесконечной фундаментальной группой существует минимальное семейство существенных торов (возможно пустое), расщепляющее это многообразие на части (называемые максимальными блоками, или просто блоками), которые либо являются пространствами слоений Зайферта, либо геометрически аторичны, то есть не содержат существенных торов, за исключением, возможно, торов, параллельных краю (существуют и геометрически аторичные многообразия, допускающие структуру слоения Зайферта). Такой набор торов называется ЛЗ.Тноверхпостыо и единственнен, с точностью до изотопии. Неприводимые многообразия, для которых все максимальные блоки допускают структуру слоений Зайферта, являются граф-многообразиями.
Все многообразия, рассматривающиеся в данной работе, являются трехмерными. Поэтому индекс, указывающий на размерность, в

дальнейшем опускается.
Пусть компактное неприводимое многообразие М допускает нетривиальное ЛЯПразложение. Если М не является граф-многообразием или край дМ не пуст, то, как показал Либ [17], многообразие М обладает ХРС-метрикой. Вопрос о существовании ХРС-метрики на замкнутых неприводимых граф-многообразиях, которые склеены из пространств с тривиальной структурой слоения Зайферта (прямых произведений поверхности на окружность) был решен С. Бу-яло и В. Кобельским в работах [3, 4]. Необходимое и достаточное условие того, что такое граф-многообразие допускает КРС-метрику, дано в цитированных работах сначала неявно, в терминах разрешимости некоторого уравнения (уравнения геометризации) над графом данного многообразия, а затем и в явном виде, в “спектральных” терминах некоторой матрицы, составленной из топологических инвариантов многообразия.
Неожиданно оказалось, что упомянутое уравнение геометризации управляет не только NРС-метриками на данном граф-многообразии, но и оказывается ответственным за решение совершенно других, чисто топологических задач.
0.2. Известно, что любая яд -инъективная поверхность (то есть поверхность рода д > 1 , погруженная так, что индуцированное отображение фундаментальных групп инъективно) эйлеровой характеристики ноль в замкнутом хакеновом многообразии является виртуально вложенной (то есть гомотопна поверхности, поднимающейся до вложения в некотором конечнолистном накрывающем), поэтому погруженная 7Г1 -инъективная поверхность в таком многообразии, не являющаяся виртуально вложенной, должна иметь отрицательную эйлерову характеристику [23]. Первый пример многообразия, содержащего подобную поверхность, был дан в работе [26] и являлся граф-многообразием (заметим, что этот результат, полученный в начале 90-х годов, особо упомянут в сборнике проблем Кирби [16, стр. 101]).
В 1998 году В. Нойманом был опубликован препринт (уже вышедший как статья — [23]), в котором решался вопрос “когда данное замкнутое неприводимое граф-многообразие содержит погруженную 71Д -инъективную поверхность отрицательной эйлеровой характеристики?” Существование такой поверхности оказалось равносильно разрешимости уравнения, совпадающего с уравнением геометризации. (Различие со случаем С. Буяло и В. Кобельского состоит в расширении класса решений.) В этой же работе В. Нойманом был

ii Найдется набор {£„|тєУ} согласованных когомологических классов на максимальных блоках многообразия М такой, что /у(/*,) > 0 для всех V Є V и (1у',фу)-и> ' 1»'(М
• ^и(Л>) для любого тора Т|ад| , разделяющего блоки Му и Му
iii БКН-уравнение над графом Гм(У, IV) имеет правильное решение {а, 7} , такое, что ау > 0 и 7Ш = 7_ш Л/г-я всех ї Є 7 , го Є ТР
Доказательство. Эквивалентность іі 77 ііі следует из леммы 1.5.3 (о соответствии).
[ і =7 ііі] Пусть р: N —» М — конечнолистное накрытие и N расслоено над окружностью. По предложению 2.3 БКН-уравнение над Т'ы(и, Ь) допускает решение {х,р} , удовлетворяющее соотношениям хи > 0 и р+і = для всех и Є И , І Є Ь . Из предложения
2.5.3 следует [ііі].
[ іі =Ф> і] Пусть д : 5 -7 М — горизонтальная поверхность, построенная так, как в доказательстве соответствующего пункта предложения 2.1 (далее без пояснений используются обозначения, введенные в этом доказательстве). Выберем точку ру Є д~1(Му) для каждой вершины и Є V . Рассмотрим .18.1-тор Те С М , разделяющий блоки Му И Му/ . Пересечение д(Б)ПТе состоит из О экземпляров кривой (с+)-^ и О экземпляров кривой (с")-^ . Пусть (гг) (соотв. к~ (го) ) — 1-цепь на Б , носитель которой пересекает множество С С Б один раз по прообразу і -ой кривой набора П(с+)м (соотв. £>(се )М )■> 2 = 1 и такая, что дкДш) — [рД — р„
(соотв. дк~(ш) = [ргг] — [р„] ). Вычислим значение на таких цепях:
где предпоследнее равенство следует из условия іі настоящего пред-

(р „,(/„0 -с(М)