Многообразия Римана-Картана

• Автор: Гордеева, Ирина Александровна
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Владимир
• Количество страниц: 112 с. : ил.

Оглавление
Введение

1. Многообразия и линейные связности

§1. Многообразия и связности

§2. Метрически-аффинные пространства. Теорема Грина

§3. Представление ортогональной группы и теорема Ж.-П. Бур-

гиньена

2. Многообразие Римана-Картана

§1. Классификация многообразий Римана-Картана

§2. Примеры многообразий Римана-Картана

§3. Скалярная и полная скалярная кривизны многообразия

Римана-Картана
§4. Характеристики многообразий Римана-Картана выделенных классов и теоремы исчезновения
3. Векторные и тензорные поля на многообразии Римана-Картана
§1. Псевдокиллинговы векторные поля на многообразии
Римана-Картана

§2. Псевдогармонические векторные поля на многообразии
Римана-Картана
§3. Поля симметрических тензоров на многообразии Римана-
Картана
Литература

Введение
Актуальность темы исследования. Метрически-аффинным пространством называется тройка (M,g,V), где М - дифференцируемое многообразие размерности п > 2 с метрикой д некоторой сигнатуры и линейной связностью V с ненулевым кручением S, которая, вообще говоря, не зависит от д. Именно эти пространства в последние полвека стали объектом интенсивного изучения в теоретической физике, свидетельством чему сотни опубликованных статей. Напротив, в дифференциальной геометрии только частные виды метрически-аффинных пространств (М, д, V) время от времени попадали в поле зрения ученых, о чем мы скажем ниже, но в целом геометрия (М,д,7) никогда не вызывала их активного интереса.
Начало теории метрически-аффинных пространств было положено Э. Картаном в 1922 году (см. [11]), который предложил вместо связности Леви-Чивита V в GRT (сокращенное от General Relativity Theory) рассматривать несимметричную линей ную связность V, обладающую свойством метричности Vд = 0. В результате пространство-время получало в дополнение к кривизне еще и ненулевое кручение S. Впоследствии в 1924 и 1925 годах им было опубликовано еще две работы (см. [12] и [13]) в развитие своей теории. Кроме того, им была выдвинута идея пространства абсолютного параллелизма. Позднее Э. Картан указал, что эта идея была переоткрыта А. Эйнштейном в 1928 г., положившим ее в основу еди-
Лемма Хопфа (см. [75], стр. 38). Пусть М - компактное риманово многообразие. Если И - дифференцируемая функция на М такая, что ДТ1 > 0 или ДF < 0 всюду, то И - постоянная функция.
Рассмотрим риманово многообразие М и пусть тг С ТХМ - произвольное двумерное подпространство в касательном пространстве ТХМ к многообразию М в точке х. Пусть X и У - два произвольных базисных вектора подпространства тт. Секционной кривизной риманова многообразия (М,дч) в двумерном направлении тт называется число
км = я(я(х,У)х,¥)
[ > д(Х,Х)д(¥,¥)~д{Х,¥Г
где д(Х,¥) — дчХг¥3 скалярное произведение относительно метрики дч (см. [87], стр. 49).
Если К(тт) = К постоянна для всех двумерных подпространств тт в ТХМ и всех точек х € М, то (М, д) называется римановым многообразием постоянной кривизны. Такое многообразие характеризуется следующим строением тензора кривизны (см. [74], стр. 193)
= к(й1г9]к - ддгк) (1.1.12)
в каждой карте ((/, Ф) многообразия М. Из (1.1.12) следует, что
Щк = {п-1)Кд]к (1.1.13)
где К = = сошС
1.4. Распределение И (см. [74|, стр. 19) размерности г на многообразии М есть сопоставление каждой точке х из М г-мерного подпространства Ох из ТХМ. Оно называется дифференцируемым (см. [74] , стр. 19-20), если каждая точка х имеет карту (С/, Ф) и г дифференцируемых векторных полей на (и, Ф), скажем Хх