Некомпактные римановы и лоренцевы многообразия со специальными группами голономии

• Автор: Базайкин, Ярослав Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 165 с.

Оглавление
Введение
1 Основные сведения о группах голономии и связанных с ними геометрических структурах

1.1 Группы голономии римановых пространств

1.2 З-Сасакиевы многообразия

1.3 Группы голономии лоренцевых пространств

2 Римановы пространства с группой голономии й'рмг(7) и 6'2

2.1 Римановы пространства со 5рт(7)-структурой, связанные

с 3-сасакиевым многообразием

2.2 Метрики на пространстве М

2.3 Метрики на пространстве Л4

2.4 Обоснование условий регулярности
2.5 Конструкция римановой метрики с группой голономии (?2
2.6 Примеры
3 Специальные кэлеровы метрики на комплексных линейных расслоениях и К 3-поверхности
3.1 Конструкция эйнштейновых метрик на одномерных комплексных расслоениях
3.2 Специальная кэлерова структура на
3.3 Приложения к геометрии іГЗ-поверхноетей

3.4 Связь с мульти-инстантонами и доказательство теоремы
4 Метрики положительной кривизны Риччи на четырех-
мерных односвязных Т2-многообразиях
4.1 Универсальное пространство для Т2-многообразия
4.2 Метрика положительной кривизны Риччи
5 Глобально гиперболические лоренцевы многообразия со специальными группами голономии
5.1 Конструкция лоренцевых метрик со специальными группами голономии
5.2 Глобально гиперболические лоренцевы многообразия: обзор необходимых результатов
5.3 Свойства причинности построенных метрик
Литература

Введение
Диссертация посвящена исследованию геометрических и топологических свойств римановых и лоренцевых многообразий со специальными группами голономии.
Первое упоминание о голономии (а именно, использование термина «голономные» и «неголономные» связи в классической механике) датируется 1895 годом и принадлежит Герцу [59, 82]. В математических работах понятие голономип впервые возникло в 1923 году у Э. Картана [42, 43, 45) применительно к римановым многообразиям, и уже имело современный смысл. Кратко говоря, группа голономип Hol (Л/) с 0(п) риманова многообразия Мп порождается операторами параллельных переносов относительно связности Леви — Чивита вдоль путей, начинающихся п заканчивающихся в фиксированной точке р € М. Если рассмотреть только стягиваемые петли, то мы получим ограниченную группу голономии Но1°(М), которая является связной компонентой единицы в группе Но1(1Ч). Везде в диссертации многообразия предполагаются од-носвязиыми, н поэтому Но1(М) = Но1°(М). Интуитивно ясно, что если Но1(Л/) не будет совпадать с максимально возможной группой изометрий SO(n) касательного пространства ТрМ, то это должно свидетельствовать о наличии ограничений на геометрию риманова многообразия. И действительно, каждой специальной группе голономии отвечает та или иная специальная геометрия.
Глобальный характер группы голономии риманова многообразия подчеркивается теоремой де Рама о разложении. А именно, очевидно, что

Пусть М — ориентированное риманово 8-мерное многообразие. Говорят, что дифференциальная форма Ф € А4М задает 5рт(7)-структуру на М, если в окрестности каждой точки р 6 М существует сохраняющая ориентацию изометрия фр : ТрМ —¥ К8, такая, что ф*Ф0 = Ф|р. При этом форма Ф определяет единственную метрику Предложение 1.10 [56]. Форма Ф, задающая 3ргп(7)-структуру на многообразии М параллельна тогда, и только тогда, когда она замкнута:
йФ = 0. (1.6)
Поскольку Ф самосопряжена относительно оператора Ходжа *, ее замкнутость равносильна козамкнутости и влечет гармоничность; однако обратное в некомпактном случае вообще говоря неверно.
Римановы многообразия с группой голономии Зргп(7) также являются эйнштейновыми:
Предложение 1.11 [1]. Пусть (М,д) — риманово 8-мерное многообразие и Но1(М) С Брт(7). Тогда д — Риччи-плоская метрика, тп.е. она удовлетворяет уравнению (1.2).
1.2 З-Сасакиевы многообразия
Данный параграф содержит обзор основных результатов о 3-сасакиевых многообразиях, необходимых нам в дальнейшем. Более полные доказательства и дальнейшие ссылки можно найти в [34].
Пусть М — гладкое замкнутое риманово многообразие размерности