Геометрия симметрических тензорных полей на римановом многообразии

• Автор: Родионова, Марина Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Владимир
• Количество страниц: 117 с.

I Фундаментальные дифференциальные операторы на симметрических тензорных полях

§1 Обозначения и определения

§2 Фундаментальные дифференциальные операторы первого порядка на симметрических тензорных полях
«V §3 Фундаментальные дифференциальные операторы первого порядка на дифференциальных формах

II Риманова геометрия тензоров Киллинга

§1 Собственные функции тензоров Киллинга

§2 Собственные функции тензоров Киллинга-Яно

§3 Тензоры Киллинга-Яно пониженного ранга

§4 Моделирование тензора Киллинга с помощью проекf тивной иммерсии

III Обобщённо рекуррентное симметрическое тензорное поле

§1 Понятие обобщёпно рекуррентного симметрического

тензорного поля на римановом многообразии
§2 Обобщённо рекуррентное симметрическое тензорное
поле на римановом многообразии знакоопределёппой секционной кривизны

*’ §3 Обобщённо рекуррентное и обобщённо конциркулярно
рекуррентное римановы многообразия
§4 Обобщённо рекуррентное тензорное поле в евклидовом
пространстве
§5 Одно применение теории обобщённо рекуррентных
симметрических тензорных полей
IV Геометрия гармонических симметрических тензоров
( §1 Гармонические симметрические тензоры на римановом
многообразии
§2 Теорема исчезновения для гармонических симметрических тензоров
§3 Инфинитезимальные гармонические преобразования
риманова многообразия
Литература

Диссертационная работа посвящена геометрии симметрических тензорных полей на римановых многообразиях. Теория симметрических тензорных полей развивалась параллельно с теорией дифференциальных форм, и ее результаты представлены в виде отдельных параграфов или разделов в целом ряде монографий (см. например, [3]; [4]; [23]; [34]; [40] и др.). Несмотря на это данная теория имеет более скромные позиции по сравнению с теорией дифференциальных форм, без изложения которой не обходится ни одна монография и даже учебник по современной дифференциальной геометрии. Достаточно напомнить такие классические разделы дифференциальной геометрии как когомологии де Рама, гармонические формы и теория Ходжа. Чего стоит один только метод внешних дифференциальных форм Э. Картана и его современная модификация, принадлежащая Г.Ф. Лаптеву, или техника С. Бохнера, которая первоначально возникла как аппарат по изучению геометрии дифференциальных форм в целом (см. [92]). Скажем больше: почти все известные в современной геометрии структуры на дифференцируемых многообразиях также связаны с дифференциальными формами (см., например, [11]; [14], стр. 139, 142, 345-349). Не говоря уже о физических приложениях, которые начинаются с исследований уравнений Максвелла, описываемых в терминах дифференциальных 2-форм, и заканчиваются современными результатами по построению операторов симметрий уравнений Дирака на основе киллинговых и конформно киллинговых дифференциальных форм (см., например, [45]).

три фундаментальных дифференциальных оператора. Ядром первого и второго операторов будут бесследовые конформно кготлинго-вые и конформно кодаццевые 2-тензоры (р £ С°°Б1М. Ядро третьего оператора составят симметрические бесследовые бездивергентные 2-тензоры. В силу своего определения все три фундаментальных оператора являются обобщёнными градиентами на соответствующих подпространствах пространства С°°Б$М.
§3 Фундаментальные дифференциальные операторы первого порядка на дифференциальных формах
Рассмотрим С,сю-м1гогообразие М с линейной связностью V без кручения, и С°°М-модуль Diff(ApM,T*MApM) линейных диф-ч ференциальных операторов первого порядка на пространстве С°°Мсечений С°°АРМ расслоения внешних дифференциальных р-форм
лгм.
Обозначим через Е* <8> АРЕ стандартный слой тензорного расслоения Т*М <8> АРМ который является пространством представления полной линейной группы СЬ(п, М), где Е — ТХМ для произвольной точки х € М и Е* - двойственное или сопряжённое к Е линейное . пространство. При этом действие элемента Л группы ОЬ(п, Ш,) в слое
задаётся формулой:
Л(а* <8> а{ Л ... Л а*)
= (£гД~ V) ® (Ла[) Л ... Л (,Ла*р)
для произвольных а*, а* 6 Е*.
Расслоение Т*М <8> АРМ является поточечно приводимым, поскольку допускает С?£(тг, Шфинвариантные подрасслоения. Стандартный слой каждого из такого подрасслоения является инвариант-*’ ным относительно преобразований Л £ СЦп, Ж) подпространством