Некоторые классы гармонических отображений и чебышёвские сети в римановых субмерсиях

• Автор: Лизак, Ромуальда
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 64 c. : ил

ГЛАВА I. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ В РИМАНОВЫХ

СУШЕРСИЯХ

§ I. Гармонические отображении римановых

пространств

§ 2. Римановы субмерсии

§ 3. Гармонические отображения римановых

субмерсии ••«••••••>*•«<»••••

§ 4. Гармонические, взаимно-однозначные отображения подмногообразия на базе в свой прообраз в пространстве субмерсии

§ 5. Примеры. Отображения в сферическое, штифелово и

грассманово пространство

ГЛАВА II. ЧЕБЫШЁВСКИЕ СЕТИ В РИМАНОВЫХ СУШЕРСИЯХ

§ I. Чебышёвские сети и гармонические отображения
§ 2. Чебышёвские сети в римановой субмерсии, проекция которых на базу - линия, а проекция в типовой слой - поверхность
§ 3. Чебышевские сети в римановой субмерсии, проекция которых на базу и в типовой слой вырождается
в линию
ЛИТЕРАТУРА

Основным объектом исследования настоящей работы являются гармонические отображения римановых пространств специальных тшов друг в друга, в частности, так называемые киральные поля, то есть гармонические отображения псевдоевклидовой плоскости в римановы пространства.
Хорошо известна роль, которую в геометрии и физике играет функционал энергии Е являющийся многомерным обобщением функционала Дирихле. Гармонические отображения гладкого компактного ориентированного риманова многообразия М в гладкое риманово многообразие К вводятся как критические точки функционала энергии в пространство гладких отображений из И в У Исследованию этого функционала и его экстремалей посвящены работы З.ЕеЦл^Д-Ьетси'те' , И. Зсиглрьмга р2],[з],[бЗ и других авторов [г], [12] ,^13], [14][. Частные случаи этих экстремальных отображений это известные понятия из дифференциальной геометрии, например, геодезические, гармонические функции. Киральные поля, имеющие приложения в теоретической физике, с геометрической точки зрения это гармонические отображения псевдоевклидовой плоскости в риманово пространство. Поэтому выделение некоторых новых классов гармонических отображений римановых пространств и изучение их геометрических свойств представляет интерес с теоретической точки зрения, позволяет продвигаться в решении общих вопросов.
В диссертации рассматриваются гармонические отображения в римановых субмерсиях. Римановы субмерсии часто встречаются в римановой геометрии главным образом как однородные римановы расслоения. Основные уравнения римановой субмерсии получил

О' ШИ В > который в работе ГтоЦ определил риманову субмерсию при помощи тензора Т~ фундаментального тензора слоя и так называемого тензора неголономности А . В ХЭЛ Надь П исследовал структурные уравнения субмерсий методом внешних форм. Предлагаемая диссертация состоит из введения и двух глав.
Во введении определяется цель исследования. Приведен краткий обзор работ имеющих непосредственное отношение к теме диссертации. Кратко сформулированы основные результаты.
В первой главе найдены геометрические характеристики ряда классов гармонических отображений римановых пространств в римановы субмерсии.
Сначала напомним некоторые известные факты из геометрии в удобной для дальнейшего использования форме. Определяются гармонические отображения, используя метод внешних форм, указывая эквивалентность с определением гармонических отображений, как экстремали функционала энергии. Е
Пусть задано отображение И : ТТ —> Н римановых многообразий
К и н . Тогда
.У - нх (Г- (1)
где } Ьэ1 компоненты формы смещения заданной на рассмотре-

нии ортонормированиях реперов М и М соответственно. Они удовлетворяют структурным уравнениям
с№Л=-о£ла'“' _ +
Применим внешнее дифференцирование к уравнению (I).

(7)
<№ = ЪЪ'»'*
Предположим, ЧТО вложение №""^Мс 0г^ Уравнения
с1^ + к,* Ок - К, <Р5 = н£у ю*
где 1|К пробегают индексы 1А , Л , К для 1= А ,1= ь дают
&£= н|Х а;+Р‘,кв“=н;у
Из уравнений (6) учитывая (3), получаем со' (и-К) Ьцу = Ои,
(И^)*5«У‘«о£
Сравнивая с (8) заключаем, что С И-К)
^ич = Ицч
Предположение гармоничности отображения минимальность подмногообразия Л/ . Для К кривизны лежит в площадке векторов 6д
гармоническое.
• СО
к влечет для 124 4. =і вектор средней