Некоторые свойства топологических пространств, обобщающие паракомпактность

• Автор: Ануфриенко, Сергей Александрович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 60 с.

Обозначения и терминология

Глава 1. Разделяющие примеры

Глава 2. Рассматриваемые обобщения и паракомпактность

Глава 3. Инвариантные свойства рассматриваемых обобщений

паракомпактности

Литература

В 1924 году П.С. Александров опубликовал небольшую статью “О множествах первого класса и абстрактных пространствах” (см. [1]). Помимо основного результата — критерия полноты сепарабельных метрических пространств — Павел Сергеевич ввел в этой работе понятие локально конечного покрытия (семейство 7 называется локально конечным, если у каждой точки х е X найдется окрестность <9(т) , пересекающаяся с конечным числом элементов семейства 7 ). Этому понятию суждено было сыграть важную роль в топологии. Так, в 1944 году Дьедонне определяет класс паракомпактных пространств, в любое открытое покрытие которых можно вписать локально конечное открытое покрытие, и доказывает паракомпактность сепарабельных метрических пространств (фактически это было сделано в [1]). Чуть позже Стоуну [38] удается значительно усилить этот результат: любое метрическое пространство паракомпактно (теорема Стоуна). А в 1951 году Нагата, Смирнов и Бинг (см. [18]) независимо доказывают один из первых общих метризационных критериев: в регулярных пространствах метризуемость равносильна существованию а -локально конечной базы. Семейство множеств 7 является а -локально конечным (а-Т>, где V — некоторое топологическое свойство), если 7 можно представить в виде счетного объединения 7 = и{7„ : п 6 К} семейств, каждое из которых локально конечно (обладает свойством V ).

Начало систематическому изучению паракомпактных пространств было положено работами Майкла [29]-[31]. Он впервые использует консервативные семейства, для которых объединение и оператор замыкания перестановочны. Семейство подмножеств {Ра : а 6 А} называется консервативным, если для всякого подмножества индексов В С А , выполняется:
и Ра
аеВ аеВ
Нетрудно заметить, что любое локально конечное семейство консервативно. Майклу также принадлежат несколько теорем, которые в совокупности дают один из самых эффективных критериев паракомпактности.
Теорема (Майкл, [29]-[31]) 0.1. Для каждого регулярного пространства следующие условия эквивалентны:
1. Пространство X паракомпактно.
2. В каждое открытое покрытие пространства X можно вписать открытое о -локально конечное покрытие.
3. В каждое открытое покрытие пространства X можно вписать локально конечное покрытие (произвольными множествами).
4- В каждое открытое покрытие пространства X можно вписать замкнутое локально конечное покрытие.
5. В каждое открытое покрытие пространства X люжно вписать консервативное покрытие (произвольными множествами).
Другой попыткой ослабления локальной конечности было введение Аренсом и Дугунжи в 1950 году точечно конечных систем (система 7 подмножеств топологического пространства X называется точечно конечной, если каждая точка х € X принадлежит только конечному числу элементов 7) и слабо паракомпактных пространств, в каждое открытое покрытие которых можно вписать точечно конечное отИнвариантные свойства рассматриваемых обобщений паракомпактности

и Ра Я д(уа) . Выберем произвольную точку х(у) 6
ство и дискретно в У . Аналогично доказывается сохранение в сторону образа
а£А
слабой- / -паракомпактности и / -паракомпактности слабо замкнутыми открытыми отображениями. Теорема доказана.
Сохраняются ли введенные свойства при совершенных отображениях в сторону прообраза? В общем случае положительный ответ на этот вопрос удается получить только для д -паракомпактных пространств.
Теорема 3.6. Пусть X — сильно- / -паракомпактное (/ -паракомпактное, слабо-/ -паракомпактное) не слабо паракомпактное пространство и IV (шо + 1) = = N и (сД)} — сходящаяся последовательность. Тогда тихоновское произведение У = X х У(сод + 1) не является слабо- / -паракомпактным пространством.
Доказательство. Поскольку X не слабо паракомпактно, существует открытое покрытие Ы пространства X , в которое нельзя вписать точечно конечное открытое покрытие. Покажем, что в открытое покрытие V = : и е Ы) пространства У , где 7гх — проекция на X , нельзя вписать слабо дискретное открытое покрытие. Предположим противное и обозначим через IV слабо дискретное открытое покрытие, вписанное в V . Кроме того, для любого х е X через УУ(ж) будем обозначать множество всех элементов покрытия И?, содержащих точку (гг, сд>) • Тогда У(х) конечно для каждого х 6 X . Иначе можно было выбрать по точке из каждого элемента бесконечного множества ^У П ({ж} х IV (и>о + 1)^ : IV е >У(т)| и получить последовательность, сходящуюся к (гг, о;0) . Таким образом, семейство >у' = {IVПТ х {(Д)} : VI € ТУ} является точечно конечным покрытием X х {ш0} . Поэтому Ы' = {7Гх(А) : А 6 УУ'} — точечно конечное открытое покрытие пространства X , вписанное в Ы . Получили противоречие с выбором покрытия Ы . Теорема доказана.