Геометрические инварианты трехмерных многообразий, узлов и зацеплений

• Автор: Мартюшев, Евгений Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Челябинск
• Количество страниц: 103 с.

Глава 1. Геометрические инварианты трехмерных многообразий

§1.1. Допустимая расцветка и отображение Г: Т —> М3

§ 1.2. Ациклический комплекс и инвариант 3-многообразия

§ 1.3. Мультипликативность инварианта относительно связной суммы

§ 1.4. Примеры вычислений

Глава 2. Модификация инварианта для зацеплений

§ 2.1. Триангуляции разветвленных накрытий 3-сферы

§ 2.2. Ациклический комплекс и инвариант зацепления

§ 2.3. Вычисления для трилистника

Глава 3. “Скрученная” версия геометрического инварианта

§ 3.1. Построение для 3-многообразий

§ 3.2. Построение для зацеплений
Список литературы

Настоящая диссертация посвящена одной из наиболее актуальных областей современной математики — инвариантам трехмерных многообразий, узлов и зацеплений. Инварианты многообразий — это специальным образом построенные величины, значения которых определяются лишь топологическими свойствами каждого конкретного многообразия и не зависят от деталей построения. Задача различения 3-многообразий с помощью инвариантов является составной частью важнейшей задачи маломерной топологии — полной классификации трехмерных многообразий.
Вес трехмерные многообразия, рассматриваемые в диссертации, принадлежат кусочно-линейной категории. Напомним, что но определению топологического п-мерного многообразия М, каждая его точка имеет окрестность гомсо-морфную евклидовому пространству ЕЕ Конкретный гомеоморфизм ф:Жп М назовем картой, совокупность карт, покрывающих М — атласом. Если ф, ф: М" —» М — две карты, то определен гомеоморфизм перехода ф_1ф, отображающий одну область в Мп на другую. Если ф~1ф принадлежит классу кусочнолинейных гомеоморфизмов, то карты ф и ф называются РЬ согласованными. Многообразие М называется кусочно-линейным или РЬ п-многообразием, если его атлас состоит из РЬ согласованных карт. В случае если все ф~1ф являются диффеоморфизмами, многообразие М называется гладким
'Согласно результату Э. Мойса [55], в размерности 3 на любом топологическом многообразии М можно ввести как гладкую, так и кусочно-линейную структуру. При этом такая структура единственна в смысле существования диффеоморфизма или кусочно-линейного гомеоморфизма меж;у любыми двумя гладкими или кусочно-линейными мно1Т)образиями, гомеоморфными многообразию М. Таким образом, в размерности 3 категории топологических, кусочно-линейных и гладких многообразий практически совпадают.

Кусочно-линейное многообразие всегда можно триангулировать. Подчеркнем, что в диссертации мы будем иметь дело с триангуляциями в широком (некомбинаторном) смысле: симплекс некоторой размерности в нашей триангуляции может не определяться однозначно множеством своих вершин.2 Например, триангуляция п-мерной сферы может состоять из двух п-симплексов, грани которых попарно склеиваются по тождественному гомеоморфизму.
Разумеется, одно и то же РЬ п-многообразис можно триангулировать многими различными способами. В связи с этим возникает вопрос о том, каким образом связаны две триангуляции одного и того же РЬ п-многообразия. В начале 1930-х годов Дж. Александер [24] и М. Ньюман [58] показали, что любое подразделение еимплициального комплекса может быть получено из исходного посредством конечной последовательности комбинаторных преобразований комплекса — так называемых звездных движений. Однако, количество таких движений бесконечно даже для размерности 3. Значительно позднее, в 1991 году, немецкий математик У. Пахнер [59] выделил конечное множество комбинаторных движений, достаточных для того, чтобы перейти от одной триангуляции кусочно-линейного многообразия к любой другой.
Теорема 0.1 ([57, 59]). Любые две триангуляции одного РЬ п-многообразия связаны конечной последовательностью движений Пахнера.
Движения Пахнера, фигурирующие в теореме, — это локальные преобразования триангуляции многообразия (аналоги движений Райдемайстера в теории узлов). В каждой размерности количество таких движений конечно. Например, в размерности 3 существует только четыре типа движений Пахнера:
2В литературе часто можно встретить термин псевдотриангуляция.

МфМ2 и представления рф инвариант (1.21) равен
1р#{МфМ2) = —1в(М) ■ 1Р2(М2). (1.34)
Доказательство. Обозначим Тф — Т и Т2 фундаментальное семейство симплексов триангуляции накрывающего многообразия М#М2.
Пусть г — выделенный 3-симплекс, но которому происходит приклеивание многообразий М и М2. Пусть т — прообраз т, принадлежащий У~ и Т2. Тогда, без потери общности мы полагаем, что все симплексы из дт также лежат в Т и Т2. Таким образом, ТГТ2 состоит в точности из тех симплексов триангуляции, которые принадлежат т.
Фиксируем декартову систему координат (х,у,г) пространства М3. Вершины тетраэдра Г(т) обозначим А, В, С, В и поместим в точки (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) соответственно. Тогда, Уавсв — 1.
Разберем структуру векторных пространств, входящих в ациклический комплекс (1.17) для многообразия М#М2 и представления рф. Будем помечать все величины, относящиеся к многообразию М, с помощью одного штриха, величины многообразия М2 двумя штрихами, а величины многообразия МфМ2 обозначать теми же символами без штрихов.
Выберем множества В, В[ и В'[ таким образом, чтобы их элементы соответствовали некоторым координатам вершин В, С и £>. Тогда, используя предложение 1.9, непосредственным вычислением можно показать, что определители detlз'J[, сЫ; в«/" и (1с4 щД всегда равны ±1.
В качестве примера, вычислим Так как р — 9, то е(ЗД — е(3) и
для нахождения detв>lf[ можно положить В[ = {<1ха, дуд, (-ЬА) дув, дгв, дгс}.