Классификация простых мультиростков кривых в симплектических и контактных пространствах

• Автор: Колгушкин, Павел Александрович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 82 с.

Понятие простого объекта, введенное В. И. Арнольдом, оказалось чрезвычайно плодотворным. Это понятие является обобщением понятия устойчивого объекта. Пусть на многообразии X действует группа Ли G. Модальностью точки х £ X называется такое наименьшее число то, что достаточно малая окрестность точки х может быть покрыта конечным числом m-параметрических семейств орбит действия группы G. Точка х Е X называется простой, если ее модальность равна нулю, т.е. достаточно малая окрестность этой точки пересекается только с конечным числом орбит, см. [7].
В. И. Арнольд в работе [1] классифицировал простые особенности ростков голоморфных функций с точностью до стабильной Д-эквивалентности (две функции называются Д-эквивалентными, если одна превращается в другую при некоторой гладкой замене координат; два ростка функций называются стабильно Д-эквивалентными, если они становятся Д-эквивалентными после сложения с невырожденными квадратичными формами от подходящего числа дополнительных переменных, см. [7]). А именно, им была доказана следующая теорема.
Теорема 1 (В. И. Арнольд). Простые ростки голоморфных функций исчерпываются с точностью до стабильной эквивалентности следующим списком:
М '■ /(ж) = жк+ k > 1;
Dk ■ f(x,y) = x2y + yk~1,k>4]
Е6: f(x,y) = x3 + y4;
Ет- /(ж,у) = ж3 + жу3;
Е& : /(ж, у) = х3 + у5.
Кроме того, В. И. Арнольд обнаружил, что эти особенности связаны с обозначаемыми теми же символами простыми алгебрами Ли или группами, порожденными отражениями, см. [2]. До этого результата особенности классифицировались по коразмерности. Однако классификация по модальности, предложенная В. И. Арнольдом, оказалась более плодотворной. В частности, списки объектов фиксированной (малой) коразмерности в некоторых случаях оказались связанными со списками объектов, возникающих в совершенно других задачах.
Классификации простых особенностей кривых посвящено значительное количество работ. Так, J. W. Bruce и Т. J. Gaffney классифицировали неприводимые плоские кривые в работе [9]. В [11] С. G. Gibson и С. A. Hobbs дали классификацию простых особенностей неприводимых кривых в трехмерном комплексном пространстве. Классификация (стабильно) простых
особенностей неприводимых кривых в линейном комплексном пространстве произвольной размерности была выполнена В. И. Арнольдом в работе [3]. 7 -
Дадим теперь необходимые определения. Особенность неприводимой кривой в начале координат в С” — это росток комплексно-аналитического отображения / : (С, 0) —)■ (С", 0). Пусть L (соответственно R) — группа координатных замен в (С",0) (соответственно в (С, 0)), т.е. группа ростков невырожденных аналитических отображений (С",0) —У (С",0) (соответственно (С, 0) —> (С, 0)). Группа L (соответственно R) называется группой левых (соответственно правых) координатных замен. Группа L х R действует на пространстве ростков следующим образом:
{a, h) • / = 50 /о /Г1, д Е L, h Е R.
Два ростка называются эквивалентными, если они лежат в одной орбите этого действия.
Особенность называется простой, если все достаточно близкие к ней особенности принадлежат конечному набору классов эквивалентности (под близостью здесь понимается близость в смысле топологии Уитни: базис этой топологии состоит из прообразов открытых множеств в пространстве m-струй для каждого ш). Особенность называется стабильно простой, если она остается простой при вложении пространства, содержащего кривую, в любое пространство большей размерности. Кривые, которые становятся эквивалентными после таких вложений, называются стабильно эквивалентными, см. [3].
В. И. Арнольд в работе [3] классифицировал простые особенности неприводимых кривых в пространстве любого числа измерений с точностью до стабильной эквивалентности. В частности, он показал, что простыми являются почти все особенности, ряды Тейлора которых начинаются с членов степени два или три, или имеют вид
х = t4, Х2 = t6, ж>2 = 0 (mod t7),
и еще особенности тридцати двух спорадических кривых.
Приведем список В. И. Арнольда полностью.
1. Кривые с ненулевой 2-струей
A2k = {tt2k+1).
2. Кривые с нулевой 2-струей, но ненулевой 3-струей
Здесь к>1, 0 <р < к, 0 < i < к — 1.
Ебк,р,г Ебк+2 ,p,i ~
^3 ^Зй+1 ^3A;+2+3i ^3&+2-{-3p^
^3 j.3k+2 ^.Sk+4+Si ^3fc+4+3p^
3. Кривые с 6-струей (i4,t6,...)
Здесь параметр к является целым числом.
ак = (t4,t6+ t2k+x), к>
Ък = (tA,t6 + t2k+s,t2k+xx), к>
ск = (t4, i6 + i2fc+5, t2*+9), jfe >
4 = (i4, i6 -+- i2*+7, t2*+9, t2*+11), &>0
ek = {t4,t6,t2k+9,t2k+lx), k>
fk = (tt6,t2k+5,t2k+7), к >
5fc = {ttt2k+7), k> 0.
4. Спорадические кривые
4.1 Кривые кратности
1-(*W6,*7) 2.(<4, t5, ^6) 3 .(t4,t5,t7)
4 ,{t4,t5+ t7,txl) 5.ltt5,tn) 6.{t4,t5 + t7)
7.(t4,f5)
8.(г4,£7,*9,г10) 9.(г4,г7,г9 + г10) i o.(t4,t7,t9)
ll.(t4,t7 + t9,tw,tn) 12.(t4,t7,tx0,tu) 13.(t4,t7 + t9,t10)
14.(*V7,i10) 15.(*4,t7 + iV13) 16.(^4, t7,
17.(*4,t7 + i9,*17) 18.(V,t7 + t13,i17) 19.(V,i7,t17)
20.(i4,i7 + i9) 21.{t4,t7+ tn) 22.(t4, t )
23.{t4,t9,t19,tlx)
4.2 Кривые кратности
l.(t6, i6, i7, t8, t9) 2.(f5, t6, <7, f8)
3 .(t5,t6,t7,t9) 4 .{t5,t7,t8,t9)
5.(t5, t7, i8, i9, t11) 6.(i5, i6, t8, i9)
4.3 Кривые кратности
1.(£6, t7,t8,t9,txo,tn)
2.(t6,t7,t8,t9,t )
3 .(t6,t7,t8,t9,txx)
C. G. Gibson и С. A. Hobbs в своей работе [11] получили кривые этого списка, которые могут содержаться в трехмерном пространстве. Авторы пришли к этой задаче, изучая движение твердого тела в трехмерном пространстве. При движении тела каждая его точка движется по какой-то кривой. У авторов возник вопрос, какие особенности могут иметь такие кривые в случае общего положения.
При рассмотрении ростков приводимых кривых естественным образом возникает понятие мультиростка.

Покажем теперь, что такой росток контактно эквивалентен (t2 + t2k+1, t4). В самом деле, моном t2r получается с помощью хг, а моном t2k+2r+1 (г > 0) получается с помощью xr~1(x2 — z).
Теперь выясним, как к связано с т. Для этого рассмотрим правую замену, которая бы привела координату х к виду t2. Несложно заметить, что эта замена имеет вид t н* t — (1/2)t2k + o{t2m). Координата z после этой замены принимает вид t4 — 2t2k+z + o(t2k+z). Теперь уже легко видеть, что эта кривая ЛТ-эквивалентна (t2, t2k+z). Отсюда вытекает, что 2к + 3 = 2т + 1 и. к = т — 1. Для окончания доказательства остается заметить, что нормальная форма, указанная в формулировке, контактно эквивалентна ростку (5.1.1) (для этого достаточно сделать правую замену). □
5.1.2 Касательное пространство к кривой лежит в контактной гиперплоскости
Рассмотрим теперь вторую возможность, когда касательное пространство к кривой в нуле лежит в контактной гиперплоскости. Спроектируем нашу кривую на пространство С2п с координатами (q,p). Так как касательное пространство к кривой лежит в контактной гиперплоскости в нуле (которая задается уравнением {dz = 0}) наша кривая проектируется в росток, также ЛЬ-эквивалентный А2т. Как уже было отмечено (лемма 36), указанное пространство С2" можно наделить такой симплектической структурой, что всякий симплектоморфизм этого пространства поднимается до контактного диффеоморфизма C2n+1. Приведем проекцию симплектической заменой к одной из нормальных форм, указанных в [5] и поднимем соответствующий симплектоморфизм до контактного диффеоморфизма. Заметим, что проекция размещается в двумерном или четырехмерном пространстве. Из того, что особенность (1) не является простой, следует, что координата z должна иметь вид t4 + o(t4) (возможно, после некоторых линейных замен в С и в С2п+1 ).
Нам понадобятся несколько вспомогательных утверждений, аналогичных леммам 1,2 и 3 из [4].
Лемма 39. Пусть дан росток голоморфной в нуле функции А(х, у), причем A(t2,t2m+l) = 0- Тогда существует такой голоморфный в нуле росток В(х,у), что А(х,у) = В(х,у)(у2 -х2т+1).
Доказательство. По теореме деления имеет место представление А(х,у) = а(х) + yb{x) + В(х,у)(у2 - х2т+1).
Подставим х — t2, у = t2m+l:
0 = A(t2, t2m+1) = a(t2) + t2m+1b(t2).