Инфинитезимальные аффинные преобразования прямого произведения пространств аффинной связности

• Автор: Моргун, Мария Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Пенза
• Количество страниц: 115 с.

Оглавление
ВВЕДЕНИЕ
1 Прямое произведение пространств аффинной связности
1.1 Прямое произведение гладких многообразий
1.2 Прямое произведение пространств аффинной связности но А. П. Нор-дену
1.3 Продолжение тензорных полей с гладких многообразий на их прямое произведение
1.4 Прямое произведение аффинных связностей и естественные продолжения векторных полей
1.5 О проективио-евклидовости прямого произведения пространств аффинной связности
1.6 Симметрические прямые произведения пространств аффинной связности
1.7 Рекуррентность прямого произведения пространств аффинной связности
2 Инфинитезимальные аффинные преобразования прямого произведения проективно-евклидовых пространств аффинной связности
2.1 Алгебра Ли инфинитезимальных аффинных преобразований
2.2 Исследование уравнений инфинитезимальных аффинных преобразований прямого произведения пространств аффинной связности

2.3 О размерностях алгебр Ли инфинитезимальных аффинных преобразований прямого произведения неплоского проективно-евклидового пространства аффинной связности и плоского
2.4 Алгебры Ли инфинитезимальных аффинных преобразований прямого произведения неплоских проективно-евклидовых пространств аффинной связности
3 Инфинитезимальные аффинные преобразования прямого произведения пространств аффинной связности в случае когда
хотя бы одно из них непроективно-евклидово
3.1 О прямом произведении непроективно-евклидового и плоского пространств аффинной связности
3.2 Аффинные преобразования прямого произведения неплоского проективно-евклидового и непроективно-евклидового пространств аффинной связности
3.3 Аффинные преобразования прямого произведения непроективноевклидовых пространств аффинной связности
4 Аффинные преобразования вещественных реализаций голоморфных линейных связностей над алгеброй двойных чисел
4.1 Голоморфные функции над алгеброй двойных чисел
4.2 Гладкие многообразия над алгеброй двойных чисел и их вещественные реализации
4.3 Вещественные реализации векторных полей и голоморфных линейных связностей
4.4 Инфинитезимальные аффинные преобразования вещественных реализаций голоморфных линейных связностей над алгеброй двойных чисел
Литература

ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы. Понятие аффинной связности возникло в 1917 г. в римановой геометрии (в виде Леви-Чивита связности); самостоятельный смысл оно обрело в 1918-24 гг. в работах Г. Вейля [51] и Э. Картана [50]. В 1927 году впервые поставлен вопрос о движениях в пространствах аффинной связности Л. П. Эйзенгардтом и М. С. Кнебельманом. Они получили систему дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка, определяющую составляющие бесконечно малого движения в пространстве аффинной связности и доказали, что группа движений конечномерна и ее размерность не превосходит п2 + п. Ими же было установлено, что пространства, допускающие группу движений размерности п2 + п, являются локально плоскими. Начиная с 30-х годовой сел едуются движения симметрических проективно-евклидовых пространств аффинной связности П. А. Широковым [45]. В это же время в теории симметрических пространств аффинной связности проводились исследования Э. Картаном [23], П. К. Рашевским [36]. Изучением симметрических пространств занимались также И. Л. Кантор, А. И. Сирота, А. С. Солодовников [22]. Начиная с 40-х годов, исследованием групп движений пространств аффинной связности занимались К. Яно, У. Муто. И. Левин, Г. Вранчаиу, Я. Л. Шапиро, В. Думитраш. Результаты, полученные вышеуказанными учеными,приведены в обзоре И. П. Егорова [21]. Б. Л. Лаптев исследовал многообразия с объектами аффинной и проективной связностей, зависящими от точки и направления, им получены условия интегрируемости уравнений проективных и аффинных движений в инвариантной форме [29]. Дальнейшее развитие теории связностей, производной Ли было продолжено Б. Н. Шапуковым [43], [44], В. В. Шурыгиным [46].
Важные результаты в теории групп движений пространств аффинной связности были получены и И. П. Егоровым [14] - [21]. Внимание И. П. Егорова привлекла опубликованная в 1903 году теорема Фубини: не существует рима-новых пространств с полной группой движений порядка —"2+1 — 1, то есть на
п(п+1)
единицу меньше наивысшего порядка -Ч—который допускают лишь про-

Ясно, что если А' 6 /2 ИЛИ В' е В, ТО
д2хс дхк' д2хк дхк'
дхА'дхв' дхс дхА'дхв' дхк
Второе слагаемое
дхА дхв дхк' с дхг дхв дхк' . дха дхв дхк' к
дхА' дхв' дхс лв дхА' дхв' дхк гВ дхА' дхв' дхк аВ
_ дхг дхв дхк' 1. __ дхг дх3 дхк' дхг дхв дхк' дхг дх3 дхк' к
дхА' дхв' дхк гВ дхА'дхв‘дхк гз~ дхА' дхв' дхк гВ дхл' дхв' дхк гз'
Так как или А' €Е /2 или В' € /2, то или - = 0 или -т = 0. Поэтому
дх1 дх3 дхк' к дхА' дхв' дхк
Таким образом, в случае (2) и левая и правая части тождественно равны нулю. Следовательно, соотношение (4.3) выполняется.
Для индекса С' возможен еще один случай: С' £ 1%. Тогда возникают следующие подслучаи:
(1) А', В' £ /2,
(2) А' € 1 или В' £ 1.
Проводя рассуждения, подобные рассуждениям, примененным в предыдущем случае, убеждаемся в справедливости равенства (4.3) во всех случаях. Таким образом, равенство (4.3) доказано.
Таким образом, в каждой карте (1£7 х 211, (1.тг)(0), (2т“)(о)) на Мп задана совокупность функций удовлетворяющая условиям (4.2) и изменяющаяся при любом преобразовании координат по закону (4.3). Следовательно, функции определенные по формулам (4.2) в каждой карте на зада-
ют аффинную связность V. Положим V дА&в = авс- Подробнее:
= 1%дь УЛЭ„ = О, УЬЭ, = 0, = г
Полученная связность удовлетворяет условиям теоремы. Действительно, при а — Ь = 1, имеем
*)(0, Сд3) = у9& = Ткг]дк.