Сильно симметричные многогранники

• Автор: Субботин, Владимир Иванович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Новочеркасск
• Количество страниц: 78 с. : ил.

1. СИЛЬНО СИММЕТРИЧНЫЕ.МНОГОГРАННИКИ ПЕРВОГО КЛАССА
1.1 Эквивалентность локального и глобального определений, перечисление
1.2 Доказательство теоремы перечисления
1.3 Многогранники, двойственные многогранникам. 1-го класса
2. СИЛЬНО СИММЕТРИЧНЫЕ МНОГОГРАННИКИ ВТОРОГО КЛАССА
1.1 Определения, теорема перечисления
2.2. Доказательство теоремы перечисления
3. МНОГОГРАННИКИ, СИЛЬНО СИММЕТРИЧНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ВРАЩЕНИЯ
3.1 Эквивалентность локального и глобального определений
3.2 Многогранники с ограниченным вращением
3.3.Основные теоремы о сильно симметричных.многогранниках 3-го и 4-го классов
ЛИТЕРАТУРА
Работа относится к тому разделу теории многогранников, в котором изучаются обобщения правильных (Платоновых) многогранников. Этот раздел к настоящему времени сформировался в самостоятельный раздел теории многогранников. Особенностью работы является то, что в основу предлагаемых обобщений положены свойства симметрии элементов многогранника.
Группы симметрии многогранников изучались многими математиками и кристаллографами. После того, как Лежандр (1833) впервые ввёл математическое понятие симметрии в геометрию, Р.-Ж. Гаюи применил это понятие в кристаллографии. В дальнейшем изучение возможных видов симметрии многогранников было продолжено И.Ф.Х. Гесселем и О.Браве. Простой и полный вывод всех видов симметрии кристаллографических многогранников дал А.В.Гадолин. Начиная с работ О. Браве, группы самосовмещений многогранников в трёхмерном евклидовом пространстве полностью перечислены вместе со всеми своими подгруппами. В Е3 существует только пять конечных групп вращений: две бесконечные серии циклических Ср и диэдральных Эр групп; тетраэдральная группа, октаэдральная группа и икосаэдральная группа. Циклическая группа Ср изоморфна группе вращений правильной р-угольной пирамиды . Группа Цр -это группа вращений правильной р-угольной призмы. Этой же группе изоморфна группа вращений дважды покрытого правильного р-угольника.
Известно, что совпадение групп симметрии многогранников не означает, вообще говоря, одинаковости строения этих многогранников. Группа симметрии не определяет однозначно даже комбинаторную структуру многогранника. Однако, действующая на элементах многогранника группа симметрии накладывает на его строение определённые ограничения.
В качестве примера укажем на теорему А.Д.Александрова [5]: если все грани выпуклого многогранника центрально симметричны, то сам многогранник является центрально симметричным. Заметим, что соответствующая теорема для осей симметрии неверна. Действительно, рассмотрим треугольную пирамиду, основанием которой является равнобедренный, но не равносторонний треугольник, а высота проецируется в центр описанной около треугольника окружности. Все грани такой пирамиды имеют оси симметрии, но сама пирамида, очевидно, не обладает нетривиальной осью симметрии.
Совокупность вершин многогранника может характеризоваться условиями симметрии в классе дискретных точечных систем. Как замечено в [17], если на евклидовой плоскости задано такое дискретное ограниченное множество точек, что ось симметрии любой пары точек является осью симметрии всего множества, то это множество представляет собой совокупность вершин правильного выпуклого многоугольника. Обобщение этого утверждения на случай трёхмерного евклидова пространства приводит лишь к двум правильным многогранникам. Из работы [50] следует, что если конечное дискретное множество точек в Е3 удовлетворяет тому условию, что плоскость симметрии любых двух точек одновременно является плоскостью симметрии всего множества, то это множество является либо совокупностью вершин правильного плоского многоугольника, либо правильных тетраэдра или октаэдра. В [50] показано также, что и в случае Е” аналоги этих двух многогранников исчерпывают класс конечных дискретных точечных систем, удовлетворяющих аналогичному условию симметрии.
Обобщением плоских правильных многоугольников являются равноугольно полуправильные и равносторонне полуправильные многоугольники. Выпуклый плоский многоугольник с четным числом сторон называется равноугольно полуправилъным, если все его углы равны между собой, а стороны равны через одну [3, ч.1, с.39]. Этот класс многоугольников, как легко видеть, характеризуется тем, что ось симметрии любых двух его соседних вершин является осью симметрии всего многоугольника. Равносторонне полуправилъным называется плоский выпуклый многоугольник с четным числом сторон, все
Многогранники с осями симметрии и без главной оси подразделяются на следующие три группы:
I.-тетраэдральная группа,
И.-октаэдральная группа,
Ш.-икосаэдральная группа.
Рассмотрим последовательно строение всех возможных сильно симметричных многогранников 3-го класса, принадлежащих этим группам симметрии.
I. Тетраэдральная группа.
Рассматриваемая группа является группой двенадцатого порядка. Она содержит три взаимно перпендикулярные оси симметрии второго порядка и четыре оси третьего порядка. Оси третьего порядка пересекаются с осями симметрии второго порядка под одинаковыми углами, равными углу между диагональю куба и его ребром. Известно, что эта группа полностью определяется либо двумя осями третьего порядка, либо одной осью третьего порядка и одной осью второго порядка.
Покажем расположение осей тетраэдральной группы на рисунке:
Рисунок59
Для наглядности расположение осей показано при помощи правильного тетраэдра. О-центр тетраэдра, то есть точка, в которой пересекаются все оси симметрии тетраэдральной группы. Сами оси не изображены, указаны их точки пересечения с поверхностью тетраэдра. При этом точки пересечения осей