О суперпаракомпактных топологических пространствах

• Автор: Мусаев, Давлатали Кахарович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Ташкент
• Количество страниц: 98 c. : ил

СОДЕ, РЖАНИЕ

ВВЕ ДЕНИ Е

§ I. СУПЕРПАРАКОМПАКТНОСТЬ И ЕЁ СВЯЗЬ С ДРУШМИ

СВОЙСТВАМИ ТИПА КОМПАКТНОСТИ

§ 2. СУПЕРПАРАКОМПАКТНОСТЬ, СВЯЗНОСТЬ

И НУЛЬМЕРНОСТЬ

§ 3. СУПЕРПАРАКОМПАКТНОСТЬ И (СЧЁТНАЯ)

СИЛЬНАЯ ПАРАКОМПАКТНОСТЬ

§4. ( О - С ) -ОТОБРАЖЕНИЯ СУПЕРПАРАКОМПАКТОВ

§ 5. ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ СУПЕРПАРАКОМПАКТНОСТИ ПРИ

ПОМОЩИ ОТОБРАЖЕНИЙ И ВЛОЖЕНИЙ
§ 6. СОВЕРШЕННЫЕ ПРООБРАЗЫ (ПОЛНО) МЕГРИЗУЖЫХ
ПРОСТРАНСТВ
§ 7. МЕТРИЗУШЫЕ СУПЕРПАРАКОМПАКТНЫЕ
ПРОСТРАНСТВА
§ 8. СУПЕРПАРАКОМПАКТНОСТЪ И РАЗМЕРНОСТЬ
§ 9. СУПЕРПАРАКОМПАКТНЫЕ ТОПОЛОШЧЕСКИЕ
ГРУППЫ
ЛИТЕРАТУРА

Всюду ниже под пространством понимается топологическое пространство и все рассматриваемые отображения пространств считаются непрерывными.
Одним из важнейших классов пространств является класс бикомпактных пространств, обладающий многими замечательными свойствами. Гораздо более широким, но всё ещё обладающим многими очень хорошими (например размерностными) свойствами, является класс сильно паракомпактных пространств, содержащий все регулярные финально компактные пространства и, в частности, все сепарабельные метрические пространства. Отметим, что свойства сильно паракомпактных пространств существенно лучше свойств более широкого и также основного в общей топологии класса паракомпактов. Казалось бы, что все свойства типа компактности, находящиеся между бикомпактностъю и паракомпактностью, уже изучены. Однако, Б.А.Пасынкову удалось следующим естественным образом выделить свойство типа компактности, промежуточное между бикомпактностью и сильной паракомпактностью.
Определение 1.1 (Б.А.Пасынков). Звёздно конечное открытое покрытие пространства называется конечнокомпонентным, если все его компоненты сцепленности конечны.
Определение 1.2 (Б.А.Пасынков). Пространство называется суперпаракомпактным, если в любое его открытое покрытие можно вписать конечнокомпонентное покрытие.
Очевидно, любое бикомпактное пространство суперпараком-пактно, а любое суперпаракомпактное пространство сильно пара-компактно и, следовательно, паракомпактно. Бесконечное дискретное пространство суперпаракомпактно и локально биком-

пактно, но не бикомпактно. Числовая прямая локальна бикомпактна, финально компактна и сильно паракомпактна, но не супер-паракомпактна. Таким образом, класс суперпаракомпактных пространств находится строго между классами бикомпактных и сильно паракомпактных пространств.
Естественно надеяться (в силу имеющегося в определении
1.1 условия конечности), что класс суперпаракомпактных пространств по своим свойствам существенно лучше класса сильно паракомпактных пространств и приближается к классу бикомпактных пространств.
Диссертация состоит из девяти параграфов.
В первом параграфе даётся, приведенное выше, определение суперпаракомпактности и указываются его связи с бикомпактностью, сильной паракомпактностью и финальной компактностью. Кроме того отмечается, что локально бикомпактное пространство суперпаракомпактно тогда и только тогда, когда оно является дискретной суммой бикомпактных пространств (предложение 1.3).
В конце параграфа, при помощи конечнокомпонентных покрытий, характеризуются вполне паракомпактные и сильно мет-ризуемые пространства (теорема 1.1).
Второй параграф демонстрирует близость классов суперпаракомпактных и бикомпактных пространств (под суперпаракомпактами понимаются суперпаракомпактные хаусдорфовы пространства)
Основные результаты второго параграфа таковы:
Теоремы 2.1 и 2.2. В суперпаракомпактном пространстве X любая квазикомпонента бикомпактна и в любой её окрестности содержится открыто-замкнутая окрестность. Если ещё X есть Тг - пространство, то любая его квазикомпонента связна.

. Затем впишем в покрытие / , г^. єХ} пространства X конечнокомпонентное открытое покрытие Рассмотрим прообраз СО = У^ = /(? ~ ^ ^покрытия . По лемме 5.2 система СО является конечнокомпонентным открытым покрытием пространства X.
Поскольку прообраз каждой окрестности Ои содержится в
теле !у£у некоторой конечной подсистемы покрытия & ,
то выбираем для каждого 7^^ СО одно множество , содержащее множество /^з . Пусть система имеет вид кI В (уЗ)} • Положим > Ясно, что
система конечна, вписана в и = 7/в . Заменяя каждый элемент 7^ покрытия СО элементами системы получим открытое покрытие Сд' вписанное в покрытие . По лемме 5.1 покрытие СО' является конечнокомпонентным. Следовательно, пространство X суперпаракомпактно и теорема доказана.
Как известно /2/, если X есть произвольное пространство, а /Я бикомпактное пространство, то проектирование произведения х>г на сомножитель совершенно.
В силу этого факта и замечания 2.1 из теоремы 5.1 вытекает
Следствие 5.1. Произведение суперпаракомпактного (в частности, нульмерного в смысле с1шь*) пространства на бикомпактное пространство суперпаракомпактно.
Из теорем 5.1 и 2.3 и замечания 2.1 вытекает
Следствие 5.2. Пространство X суперпаракомпактно тогда и только тогда, когда оно является совершенным прообразом нульмерного в смысле с(мг1 паракомпакта.
б) Напомним следующее утверждение, которым часто будем пользоваться.