Топологические свойства пространств Стоуна некоторых булевых алгебр

• Автор: Головастов, Роман Александрович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Ижевск
• Количество страниц: 80 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

1 Краткое содержание работы

2 Предварительные сведения

ГЛАВА 1.

1.1 Пространство Стоуна булевой алгебры. Основные понятия и факты.

1.2 Определение пространств Стоуна некоторых булевых алгебр.

ГЛАВА 2.

2.1 Пространство 5181,

2.2 Пространство 5931,
2.3 Пространство 5931,з
2.4 Пространства 5*82,1, 5932,2 и 5932,з
Литература

ВВЕДЕНИЕ
Понятие пространства Стоуна булевой алгебры имеет важное значение в теории бикомпактных расширений.
Максимальное бикомпактное расширение топологического пространства, называемое расширением Стоуна-Чеха, основано на конструкции пространства Стоуна. Особое место в теории бикомпактных расширений занимают максимальные бикомпактные расширения Стоуна-Чеха дискретных пространств, являющиеся пространствами Стоуна булевых алгебр подмножеств дискретных пространств.
Этим расширениям посвящены работы У. Рудин [25], 3. Фролика [14, 15], М.Е. Рудин [22-24], К. Кунена [16-18], Я. ван Милла [19-21], В.И. Малыхи-на [7], А.А. Грызлова [5, 11, 12].
Развитие теории бикомпактных расширений вызвало потребность в рассмотрении и изучении бикомпактных расширений дискретных пространств, являющихся пространствами Стоуна других булевых алгебр.
М. Белл [10] построил пространство Стоуна булевой алгебры, для которого подпространство свободных ультрафильтров не сепарабельно, но удовлетворяет условию Суслина. Это пространство является бикомпактным расширением счетного дискретного пространства.
Используя расширение М. Белла, Я. ван Милл [19] и A.A. Грызлов [11] доказали существование новых типов точек в пространстве ßto, тем самым решив несколько важных проблем теории бикомпактных расширений.
В силу актуальности расширения М. Белла, для теории бикомпактных расширений, возникла задача подробного его изучения.
Исследованию расширения М. Белла посвящены работы A.A. Грызлова, Е.С. Бастрыкова и P.A. Головастова [4, 6, 13, 26, 27]. В этих работах изучена внутренняя структура этого пространства, получены различные типы его точек и их свойства.

Доказано, что в расширении Белла существуют как сходящиеся последовательности, так и копии пространства ßu.
Пространство, построенное М. Беллом, является пространством Стоуна булевой алгебры подмножеств множества
9Д = {/1«: п С и, / G Pi},
где Р — {/ € иш : 0 ^ f(k) ^ к 4- 1 для всех к G со}.
Здесь и далее под п в зависимости от контекста будем понимать и натуральное число, и множество {0, 1,..., п — 1}.
Булева алгебра этого пространства порождена семейством
Bi, 1 = {C-ц-, л € 7},
где Ti = {тс € ОД1 : dom тг(га) = п + 1 для всех ябш}.
В работе рассмотрены множества
9Д = {/[тг: п С со, f £ РД;
9Ъ> = {/|тг: пСи, f G Р2},
где Р2 = {/ € оР : 0 ^ /(А;) < 1 для всех kGco} = {0, 1}и
ЭТз = {fn: пси, f е Р3}, где Р3 = аР.
Отметим, что 042 Ç С 9Т3.
Определим множества
Ti = {я е 04^ : dom п(п) ^ п + 1 для всех п € и} (г = 1, 2, 3).

ГЛАВА
В данной главе рассматриваются свойства пространств Стоуна нескольких булевых алгебр. Основной упор делается на рассмотрение замыканий различных счетных подмножеств подпространств фиксированных ультрафильтров исследуемых пространств Стоуна.
Первый параграф посвящен пространству построенному М. Бел-
лом. Доказано, что замыкания бесконечных антицепей из ОД гомеморфно /Зш, а бесконечные цепи из ОД являются сходящимися последовательностями. Также описаны предельные точки цепей и антицепей из ОД в терминах центрированных систем множеств.
Во втором параграфе рассматривается пространство 52?!д. Доказано, что оно вложимо в 5ПЗхд в качестве замкнутого подмножества, при этом 2 нигде не плотно в £93хд. Как и в пространстве «Б'Фхд замыкания бесконечных антицепей из 012 гомеморфно /Зи>, а бесконечные цепи из 0Т2 являются сходящимися последовательностями. Однако, предельные точки цепей здесь являются изолированными точками подпространства свободных ультрафильтров, а замыкания антицепей являются открыто-замкнутыми копиями /Зи>.
Основным результатом данного параграфа является теорема 2.15, дающая критерий такого подмножества 912, замыкание которого является открытозамкнутой копией (Зси. Также приведены пример подмножества 0?2, замыкание которого является не открыто-замкнутой копией /Зсо, и пример подмножества 9Т2, замыкание которого открыто-замкнуто, не содержит изолированных точек и не гомеоморфно /Зш.
Третий параграф посвящен пространству ЗОЗцз. Отличительной его чертой от предыдущих пространств является то, что фиксированный ультрафильтр в данном пространстве не является изолированной точкой, а множество свободных ультрафильтров является всюду плотным. Описаны точки данного пространства как ультрафильтры обладающие базисами опреде-