ARG-деформации поверхностей положительной внешней кривизны с краем в римановом пространстве при внешних связях

• Автор: Коломыцева, Елена Алексеевна
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Таганрог
• Количество страниц: 86 с.

Оглавление
Введение

Глава I. Предварительные сведения

§1.1. Некоторые сведения для уравнений с частными производными

эллиптического типа

§1.2. Риманово пространство R?'

Глава II. Распределение коэффициентов рекуррентности бесконечно малых ARG -деформаций поверхности, совместимых с заданной

обобщенной втулочной связью

§ 2.1. Бесконечно малые ARG -деформации поверхности

§ 2.2. Бесконечно малые ARG-деформации поверхности с

краем в римановом пространстве

§2.3. Условие обобщенной втулочной связи
§2.4. Бесконечно малые ARG-деформации поверхности
при условии обобщенной втулочной связи
Глава III. Существование некорректных обобщенных втулочных связей при фиксированном коэффициенте рекуррентности бесконечно
малой ARG -деформации поверхности
§3.1. Корректные обобщенные втулочные связи при бесконечно
малых ARG-деформациях поверхностей
§3.2. Распределение некорректных обобщенных втулочных связей при бесконечно малых ARG -деформациях
поверхностей
Глава IV. Непрерывные ARG -деформации поверхностей с краем при обобщенных втулочных связях в евклидовом пространстве
§4.1. Непрерывные ARG-деформации поверхности
§4.2. Уравнение непрерывных ARG-деформаций
§ 4.3. Условие обобщенной втулочной связи
§ 4.4. Непрерывные ARG -деформации поверхности при
условии обобщенной втулочной связи
Список литературы
Введение
Одним из важных разделов дифференциальной геометрии «в целом» является теория деформаций поверхностей в трехмерном евклидовом и римановом пространствах. Предметом исследования данной работы являются (т +1) -связные двумерные поверхности F2 положительной внешней кривизны с краем в трехмерном евклидовом F3 и римановом Я3 пространствах. Под деформацией поверхности Р2 понимают семейство {Ту2} поверхностей, зависящее некоторым образом (по крайней мере непрерывно) от параметра е, а е (~£0,£0), £0>0, так, что Р2 = F2, /у2 Ф Р2, если ехФег.
Рассмотрим поверхность F в римановом пространстве К3 с координатами (уа), заданную уравнениями уа - уа(х',х2), (хх2)е О, где О - некоторая ограниченная область двумерного арифметического
пространства А2.
Пусть поверхность F2 подвергнута деформации
F(2: у°(х[,х2) = уа(х',х2) + £га(х',х2) + о(е), (хх2)еО, (1)
где о(е) - члены более высокого порядка малости относительно малого параметра е, е е (-£0 ,£0), £0>0, г" - заданное векторное поле.
Рассмотрим две деформации поверхности F2:
У: =уа +£га+о(£),
(1£, 0) 0)
у* =уа +£га+ 0(6).
(2) (2) (2Г
Эти деформации называются эквивалентными [25], если векторные поля
га и га совпадают.
(» (2)
Бесконечно малой деформацией поверхности F2 в римановом пространстве Р3 называют класс эквивалентных деформаций вида (1). Векторное поле называют полем смещения точек поверхности F2 при бесконечно малой деформации или полем бесконечно малой деформации.

Величина К з = Пт — = Яар,т уарут называется кривизной риманова
Я <7-»О (У
пространства Я1 в данной точке М ив данном двумерном направлении (характеризуемом единичным бивектором уаР).
В случае двумерной поверхности с метрикой g0 внутренняя кривизна
К 2 поверхности Р2 в точке М вычисляется по формуле К г
Г 8иёгг-ёп
гттр р 2 _ ~11 . р2 р/ _ 21, _ п _ п т
1ДС Л12 , ~ 02 2/11 01 II 21 ’ 12,12 12,2 & т2'
Внешняя кривизна К поверхности Я2 в точке М в римановом пространстве Я3 есть разность между внутренней кривизной К
поверхности и кривизной Ккз риманова пространства Я3 в данной точке М
и в направлении касательной плоскости поверхности F2 в точке М: К = К
г2 я3
Средней кривизной Н поверхности Р2 называют полусумму главных нормальных кривизн поверхности F2. Средняя кривизна Н поверхности Р2 определяется по формуле 2Я - £тЬ1т.