Полупростые транзитивные группы ли на многообразиях с двумя концами

• Автор: Хосровян, Оганес Мелконович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Ереван
• Количество страниц: 61 c. : ил

ГЛАВА I. ОПИСАНИЕ ОДНОРОДНЫХ ПРОСТРАНСТВ

С ДВУМЯ КОНЦАМИ

§1. Концы однородных пространств

§2. Предварительные сведения о полупростых

группах Ли

§3. Леммы о норнях

§4. Конструкция квазиравномерных подгрупп

§5. Случай редуктивной стационарной подгруппы

§6. Случай нередуктивной стационарной подгруппы

§7. Некоторые специальные случаи и примеры

Глава II. ТРАНЗИТИВНЫЕ ДЕЙСТВИЯ ПОЛУПРОСТЫХ ГРУПП

ЛИ НА НЕКОТОРЫХ НЕКОМПАКТНЫХ МНОГООБРАЗИЯХ
§8. Теорема о продолжении действий
§9. Транзитивные действия на проколотом
афинном пространстве
§10.Однородные пространства с двумя концами
и положительной эйлеровой характеристикой
ЛИТЕРАТУРА

Пусть (3г - связная группа Ли. Замкнутую подгруппу Ї1с.(} будем называть квазиравномерной, если однородное пространство О/'Ц имеет два конца в смысле Фрейденталя. Если 2Х имеет конечное число связных компонент, то это равносильно тому, что Сг/'Ц гомео-морфно К*1Я, где И - компактное многообразие [і] . В работе дается классификация связных квазиравномерных подгрупп в полупростых вещественных группах Ли с конечным центром. Описываются также всевозможные квазиравномерные подгруппы 2Х в полупростых вещественных группах Ли (без ограничения на центр), такие, что К - сфера или компактное односвязное многообразие положительной эйлеровой характеристики.
Случай, когда IX - комплексная подгруппа Ли с конечным числом связных компонент в комплексной группе Ли Сг , был изучен в работах и, [15], [22].
Если IX 'Квазиравномерна и группа компонент '1Х/1С конечна, то и0 также квазиравномерна т. В работе [22І доказано, что для комплексных подгрупп IX в комплексных группах Ли О верно и обратное утверждение. Однако для подгрупп в полупростых вещественных группах Ли обратное утверждение неверно. Поэтому вопрос об описании квазиравномерных подгрупп с конечным числом связных компонент в полупростых группах Ли требует дополнительного исследования.
В первой главе дается классификация связных квазиравномерных подгрупп в полупростых вещественных группах Ли с конечным центром.
В §4 описываются четыре класса подалгебр и в полупростой алгебре ^ над 1Я . Там же сформулируется теорема 4.2, которая гласит, что если 2Х - связная квазиравномерная подгруппа полу-

простой группы Ли (} с конечным центром, то подалгебра ис.^. сопряжена с одной из подалгебр этих классов. Докательство этой теоремы проведено в §§5,6. В §5 рассмотрен случай редуктивной подалгебры и , в §6 - случай нередуктивной подалгебры и
В §7 рассматриваются некоторые частные случаи и примеры, в том числе дается классификация связных квазиравномерных комплексных подгрупп в полупростых комплексных группах Ли.
Вторая Глава IIосвящена классификации транзитивных действий полупростых групп Ли на многообразиях с двумя концами.
В §8 рассматривается общий вопрос о возможности продолжения транзитивного действия компактной группы Ли К на многообразии М до транзитивного действия полупростой группы Ли & с конечным центром, содержащей К в качестве максимальной компактной подгруппы, на многообразии . §§9 и 10 посвящены
изучению следующих специальных случаев: И=5т (т»$.) ,М — односвязное однородное пространство положительной эйлеровой характеристики Х(М)>0. Мы даем полное описание эффективных транзитивных действий полупростых групп Ли на ЪК-ПГЧд* м. Кроме того, описаны все связные квазиравномерные подгруппы 'Ш в связных полупростых группах (у , такие, что (3/г1=М*Е, где 14 компактно и %(М)>0 . При этом рассматриваются группы От как с конечным, так и с бесконечным центром 5Г(&) . В случае конечного центра используются результаты первой главы, а в случае бесконечного центра - результаты работы [9] . Пусть К'Э Ко соответственно максимальная компактно вложенная и максимальная компактная подгруппа в От , 1_0~ • В [9] показано, что
если , то либо К= К0( и центр конечен),
либо 1< транзитивна на Ст/ъс , т.е. G“ КЭД . В последнем случае квазиравномерные подалгебры и можно описать с помощью работ [б] И [3]. Заметим, что число к(М^К.-^и является

Пусть р=£ . Поскольку R действует на Sn локально эффективно, из ВД следует, что , K=-S'K(z.’) или 'К(-с) , L-
= S'^Ct-,N) или 1Л(рг-) • Так же, как при доказательстве теоремы 9.1, доказывается, что % проста и что возможны лишь случаи:
I) 3=$е(зД), 2) g.=Se(t,C) , 3) !=SU(;t) , 4) 8-SO*(V),
5) g ^Sp(t,!R), 6) g= E|
В случаях I), 5), б) имеем tp■= О , тан что подалгебра типа 1У является подалгеброй типа I. В случае 2) г должна содержать
se(Vi,C) » откуда Г=Пч|°<р^т1 или j . Если t>2. ,
то в П не существует корень, ортогональный к Г . -Если то Г—Ф, ^ = |к ’ dlwih- = 1 , так что ке^'А = О . Далее,
~ kv » ofonkt = lt 'МПк^. ♦ Значит, 'Цс h+ + и ч изоморфно проектируется на двумерное подпространство или имеет
место случай 7) теоремы 9.1 ( S£ (&_,£)?& Sô (|}з)). В случае 3) К=^(г). Поэтому ЯЛ должна содержать подгруппу L-'&(*-<)• Отсюда следует, что Г- ф И £эгр~С* + ыл(г-() . Далее, cf п к&г.А
Поэтому ol — , т.е. подалгебра м имеет тип I. В случае
4) к~Шг)* Легко видеть, что ни одна собственная параболическая подалгебра в £ не содержит .
Перейдем к рассмотрению случая, когда 2("(т) бесконечен.
Теорема 9.5. Пусть Q- - связная полупростая группа Ли с бесконечным центром, эффективно, транзитивно и неприводимо действующая на Mx[R , где М - однородное компактное многообразие ранга I. Тогда либо G проста, либо G =G, SL(2.j IR) , где
G» - проста, ~Z(G) - конечен.
Доказательство. Согласно теореме I.I, мы можем считать, что M^k0/L , причем К-Ко С , где ollmC - 1 ,
L-K^YK с Ко • Очевидно, G~G|G^ ’ гДе G>Gt - связные замкнутые нормальные подгруппы, причем Qrx проста, Сс G^ 1 а