Характеристические классы в некоммутативной дифференциальной геометрии

• Автор: Корнеева, Елена Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 75 с.

Содержание.
Введение
1. Характеристические классы проективных модулей над ассоци-
ативными алгебрами
1. Характеристические классы векторных расслоений
2. Конструкция Каруби характеристических классов проективных модулей над ассоциативными алгебрами
3. Конструкция Мищенко-Соловьева-Жураева
2. Характеристические классы для конкретных алгебр
1. Конструкция Каруби для Гп. Пример нетривиального характеристического класса
2. Характеристические классы коненнопорожденных проективных модулей над конечномерными комплексными полупростыми алгебрами
3. Случай поля ненулевой характеристики
1. Дифференцирования алгебры [7Р]
2. Выбор модуля
3. Характеристические классы для алгебры Гр [Хр]
Список литературы

Введение.
Характеристические классы являются важным понятием в современной математике. Впервые это понятие было определено для векторных расслоений. Для комплексных расслоений — это характеристические классы Чженя [27], для вещественных расслоений — классы Понтрягина [15] и Штифеля-Уитни [37], [40]. Во всех определениях характеристические классы принадлежат когомологиям базы расслоения. В настоящее время имеется несколько способов определять характеристические классы (см., например,[8], [9], [12], [24]). Кроме того, существуют варианты характеристических классов со значениями в некоторых экстраординарных теориях когомологий, например, в кобордизмах [18].
Характеристические классы Чженя гладких комплексных векторных расслоений могут быть построены с помощью конструкции Чженя-Вейля, которая приводит к определению характеристических классов с дифференциально-геометрической точки зрения. При этом определение характеристических классов использует не само многообразие, а алгебру гладких функций на нем, не само расслоение, а только пространство его гладких сечений. Это наблюдение позволяет перенести определение характеристических классов на случай абстрактных алгебр, не являющихся алгебрами гладких функций на каком-либо многообразии и, вообще говоря, некоммутативных. В качестве аналога расслоений в этом случае используются конечнопорожденные проективные модули над кольцом. Основанием этому служит известная теорема Серра-Суона [40], которая утверждает эквивалентность категории конечномерных векторных расслоений над многообразием М и категории конечнопорожденных проективных модулей над алгеброй функций на М. Эквивалентность осуществляется сопоставлением с расслоением пространства его сечений.
Теория характеристических классов для некоммутативных алгебр была развита в работах А. Конна, М. Каруби, Б.Л. Фейгина, Б.Л.Цыгана, Ю.Й.Жураева, Ю.П.Соловьева и А.С.Мищенко (см. [6-8], [16], [19], [21], [28-33], [34], [35]).
А.Конн в начале 1980-х ввел конструкции аналогов связности, кривизны и характеристических классов Чженя для проективных модулей над С*~ алгеброй, тогда же им был предложен и термин "некоммутативная геометрия". Эти характеристические классы принимают значение в когомологиях некоторой конечномерной алгебры Ли. Конн показал нетривиальность характеристических классов Чженя для некоторых некоммутативных С*~ алгебр. Однако, характеристические классы со значениями в когомологиях алгебры Ли дифференцирований в случае алгебры функций на многообразии, построенные согласно конструкции Конна, не совпадают с обычными

классами Чженя векторных расслоений.
Вслед за Конном были предложены две конструкции характеристических классов проективных модулей над ассоциативной алгеброй, вообще говоря, некоммутативной. Одна из конструкций была предложена М.Каруби, вторая — A.C.Мищенко, Ю.П.Соловьевым и Ю.Й.Жураевым. В этих конструкциях связность на проективном модуле определяется аналогично двум эквивалентным определениям связности на расслоении, однако, это приводит к двум разным конструкциям. Определение Каруби приводит к понятию квазирезольвенты алгебры. Характеристические классы принадлежат когомологиям комплекса, полученного из квазирезольвенты факторизацией по некоторым элементам. Второй подход требует определения аналога алгебры Ли векторных полей на многообразии. Конструкция Мищенко, Соловьева, Жураева использует для этой цели алгебру Ли дифференцирований исходной алгебры. Характеристические классы в этом случае принадлежат когомологиям алгебры дифференцирований. Следует отметить, что эти конструкции некоммутативной геометрии аналогичны теории характеристических классов Чженя комплексных векторных расслоений и в случае алгебры функций на многообразии приводят к обычным классам Чженя векторного расслоения.
На данном этапе развития теории характеристических классов в некоммутативной геометрии важной задачей является изучение методов и разработка техники вычисления характеристических классов проективных модулей ассоциативных алгебр. С этой целью в работе рассматриваются по-лупростые алгебры. Следуя конструкции Мищенко, Соловьева, Жураева, исследуются их характеристические классы, и доказывается их равенство нулю. Также приводится сравнение этих результатов с результатами, полученными из конструкции Каруби.
Еще одной задачей, которая исследуется в данной работе, является применение теории характеристических классов к теории конечных групп. Для этого аналог конструкции Мищенко, Соловьева, Жураева для алгебры над полем ненулевой характеристики применяется к групповой алгебре Fp [Zp]. Показывается, что характеристические классы этой алгебры равны нулю. Дальнейшее развитие этого направления может сыграть большую роль в теории конечных групп. С помощью характеристических классов можно получить новую информацию о конечных группах, что в свою очередь очень важно для их классификации.
Перейдем теперь к изложению содержания диссертации. Диссертация состоит из трех глав.
Первая глава, в основном, посвящена изложению конструкций характеристических классов для ассоциативных алгебр и не содержит результатов,

По определению

Wiß-k) — Е &r
С другой стороны, учитывая формулы перехода к другому базису, получаем
tm т т т т т п
Е e'ji’jk = Е = Е Е eWsj^jk = Е Е Е
Г=1 / 7=1 7=1 s=l 7=1 s=l r=l
Таким образом,

w* = Е Е Хг8<р'віФік-
7=1*=
Учитывая то, что т(аЬ) = т(Ьа), получаем
гг nimm п т т
Е i-(m) = Е (Е Е т(хк»ч>',їФік) = Е Е Е =
fc=l &=1 ?=1s=l у fc=l s=l
(m /гг \ Im m
[jt^ikXksJJ = r ^E^/Jsj = E .
что и требовалось доказать.
Пусть теперь — произвольный конечнопорожденный проективный правый А -модуль, я Р Е Мп(А) — такой проектор, что Е = Im Р . Тогда, согласно лемме 1.3.2, каждому эндоморфизму cp Е Еп<1а(Е) сопоставляется матрица
£ = (о о) £Mn{A) = EndA{E®F).
Положим f(ip) — f( если U и W такие А -модули, что Е © U = Ап , Е ®W = АР и ф и ф —
эндоморфизмы модулей Л” и Лт соответственно, где
(о о) :EBU
?=( О о) :B®W->E©W,
то т(ф) = т(ф).
Покажем сначала, что существуют такие целые числа /си/, для которых U ф Ак ~ W 0 А1. Этот изоморфизм будем обозначать через Ф. Действительно, по определению модуля W справедливо
U®E@W = U@Am,