О поверхностях с параллельными нормальными векторными полями

• Автор: Локотков, Николай Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 127 c. : ил

Введение
ГЛАВА I. Поверхности евклидова пространства с нормальным векторным полем параллельным вдоль некоторого распределения

§1. Основные понятия

§2. Интегрируемость распределения Аг

§3. Геометрия поверхности Ур с г семейством линий кривизны относительно нормали еР+, на распределении Л г

§4. Геометрия поверхности Мр с г семейством

линий сопряженной сети на распределении Лг ... 46.

§5. Об одном специальном отображении Т: Тх /V* ... 52.

§6. Параллельность нормального векторного поля

в объемлющем пространстве

§7. Нормальное векторное поле параллельное вдоль

одного семейства линий
ГЛАВА 2. Поверхности с параллельным полем вектора средней кривизны
§8. Некоторые свойства поля вектора средней
кривизны
§9. Некоторые свойства тензора 83.
§10. О некоторых специальных конусах в касательном пространстве
§11. Об основном направлении на поверхности УР ... 103.
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ Актуальность темы. С привлечением понятия нормальной связности исследование геометрии поверхностей в различных пространствах становится более обширным. Применение этого понятия привело к появлению новых направлений в изучении поверхностей и сетей на поверхностях. Одним из таких направлений является изучение строения поверхностей, несущих нормальное векторное поле параллельное в нормальной связности. Обзор основных результатов в данной области имеется в работах Лумисте Ю.Г. [29], Лумисте Ю.Г. и Чакмазяна A.B. [3l], Чена [59]. Предвестниками данного направления можно считать работы, связанные с двойственной нормализацией поверхностей /Чакмазян A.B. [49], [50}/, а также исследования, связанные с понятием параллельных поверхностей /например, Перепелкин Д.И. [39]/. Но в этих источниках понятие "нормальное векторное поле параллельное в нормальной связности" не применяется.
Особенно пристальное внимание поверхностям с параллельным нормальным векторным полем, в частности, параллельным полем вектора средней кривизны, уделяется в конце 60-х и в 70-х годах нашего столетия, а также в настоящее время. Акцент был сделан на изучении таких поверхностей в евклидовом пространстве, причем нормальное векторное поле требовалось параллельным вдоль всей поверхности.
В предлагаемой диссертации рассматриваются вопросы геометрии поверхностей евклидова пространства с нормальным векторным полем /полем вектора средней кривизны/ параллельным в нормальной связности вдоль некоторых направлений. Такая постановка задачи позволяет рассматривать некоторые конст-

рукции, невозможные при параллельности вдоль всей поверхности, кроме того, носит более общий характер, поэтому некоторые известные результаты можно получить как частные случаи.
Цель работы состоит в том, чтобы исследовать:
-строение поверхностей с Еп с произвольным нормальным векторным полем и полем вектора средней кривизны, параллельными в нормальной связности вдоль некоторого распределения на поверхности !р ;
- геометрию распределений на поверхности Ур с Е„ > вдоль которых параллельно нормальное векторное поле /поле вектора средней кривизны/;
- свойства некоторых объектов /поверхности V , тензора СУ , вектора М /, возникающих при параллельности нормального векторного поля /поля вектора средней кривизны/ вдоль некоторого распределения.
Общие методы исследования. Работа выполнена методом подвижного репера и внешних форм [48], с использованием те-оретико - группового метода, разработанного Г.§>. Лаптевым [20]. Все построения носят локальный характер, а используемые функции предполагаются необходимое число раз дифференцируемыми.
Научная новизна. В диссертации впервые рассмотрена геометрия поверхности в евклидовом пространстве с нормальным векторным полем /полем вектора средней кривизны/ параллельным в нормальной связности вдоль некоторых распределений. Рассмотрены свойства распределения Аг , вдоль которого векторное поле параллельно, а также свойства ортогонально - дополнительного распределения Др.г. Получены результаты обоб-

форм Т мы можем рассмотреть сопряженность относительно квадратичных форм Н/ = Я7/ оО7СО* . Два направления ^ё] назовем Л - сопряженными, если Л*7 У .
Направления Щ будут Л - сопряженными, если - О.
Из равенств (4.10) следует, что Л^7 - О тогда и только тогда, когда суммирования нет. Поэтому:
если г линий сопряженной сети входят в распределение Аг и С* в , то сеть 2р является сопряженной относительно форм И"1' тогда и только тогда, когда сеть 2.Р ортогональна. Из сопряженности сети 2Р относительно форм Н"1' при указанных ограничениях следует, что распределение Дг интегрируемо и возникает сеть на поверхности Уг , состоящая из семейств линий СО 0 . Так как сеть 1Р сопряжена относительно форм 9"* на всей поверхности Ур , то сеть Хг сопряжена на поверхности ]/г тогда и только тогда, когда С1-- - О , Л . Так как глпрИЛ^Ч—р-г то из равенств (4.7) получаем, что , (ё фУ)
С у
выполняются только лишь при условии
у?Л а*У) суммирования нет
(у 'С уу
В частности, если сеть Тр образует сопряженную систему с метрическим тензором, заданным матрицей

0 К,/, Уи
. . -то <(ч~ 0 , (1^1) . Поэтому линии Сс)1, образуют сопряженную сеть на поверхности 14 , если только они попарно
сопряжены относительно форм Н* На основании установлен-