Группы гомологии и когомологии ограниченной дистрибутивной решетки

• Автор: Тодуа, Зураб Батломович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Тбилиси
• Количество страниц: 130 c. : ил

СОДЕРКАНИЕ

ГЛАВА I. ГРУППЫ ГОМОЛОГИИ И КОГОМОЛОГИИ ОГРАНИЧЕННОЙ ДИСТРИБУТИВНОЙ РЕШЕТКИ НАД ОДНОЙ ГРУППОЙ КОЭФФИЦИЕНТОВ

§ I. Построение и аксиоматика

§ 2. Свойства гомологий и когомологий, связанные

с компактностью и связностью

§ 3. Упорядоченные группы гомологий и когомологий 46 § 4. Вычисление гомологий и когомологий некоторых

классов решеток

§ 5. Последовательности Майера-Виеториса

Глава II. РАЗЛИЧНЫЕ ГРУППЫ ГОМОЛОГИЙ И КОГОМОЛОГИЙ. ТЕОРЕМЫ

ДВОЙСТВЕННОСТИ

§ I. Относительные группы гомологий и когомологий дистрибутивной решетки над парой групп коэффициентов
§ 2. Свернутые, слабые и свернутые ординарные
группы гомологий и когомологий
§ 3. Группы гомологий и когомологий дистрибутивной решетки над парой копредпучков и предпучков соответственно
ЛИТЕРАТУРА

Теория гомологии и когомологии топологических пространств - одна из быстроразвивающихся областей современной топологии, находящая широкие применения во многих областях математики. Различные аспекты этой теории изложены,например, в книгах[21] , [1б] ,[22] .Естественным вопросом этой теории является вопрос построения различных гомологий и когомологий ограниченных дистрибутивных решеток, обобщающих известные различные гомологии и когомологии топологических пространств.Как отмечено в работе Г.С.Чогошвили[31) "Несмотря на такую общность, дальнейшая алгебраизация - именно в направлении теории решеток - представляется нам возможной. Это - очередная задача рассматриваемой области топологии". Построенные в диссертации гомологии и когомологий ограниченных дистрибутивных решеток обобщают гомологии и когомологии Александрова-Чеха и Виеториса для топологических пространств, а также гомологии и когомологии булевых алгебр с замыканием,построенные Бунятовым М. [9] , и тесно связаны с гомологичмия для решеток, введенными Рота Ж., Кан Д., Петерсон Ф., Уайтхед Ж. [аэ , Фолкман Дж.[40|, Мазер Дж. [47] и гомологиями и когомологиями дистрибутивных решеток, введенными Ахмедом Халми Мухаммедом Насир Ибрагимом [2]
Диссертация состоит из введения и двух глав(8 параграфов).
В § I главы I определяется категория пар ограниченных дистрибутивных решеток и их решеточных полных {од} -гомоморфизмов .Там же приводятся основные определения и сведения,необходимые в дальнейшем для построения в этой категории относительных групп гомологий и когомологий типа Александрова-Чеха и абсолютных групп типа Виеториса, основанных на всех конечных или на всех покрытиях . В теоремах 1.1.П и 1.1

доказывается двойственность построенных групп гомологий и когомологий, когда группы коэффициентов двойственны. Изучаются группы типа Александрова-Чеха с точки зрения аксиом типа Стинрода Эйленберга. А именно, гомологии являются контравариантными, а когомологии - ковариантными функторами из категории пар ограниченных дистрибутивных решеток и их решеточных гомоморфизмов в категорию групп (теоремы 1.1.14 и 1.1.15). Аксиома размерности, аналог аксиомы 3 Стинрода-Эйленберга и аксиома точности естественно формулируется и доказывается на этой категории (теоремы 1.1.16, 1.1.18 и 1.1.20). Дается определение гомотопности двух решеточных гомоморфизмов пар (определение 1.1.21) и доказывается (теорема 1.1.22. Аксиома гомотопии), что они индуцируют равные гомоморфизмы групп гомологий и когомологий.
В § 2 главы I для топологического Тх пространства и
для его некоторой базы открытых множеств , которая замкнута относительно конечных объединений и пересечений и которая содержит £ и 0 , определена группа гомологий и когомологий
НР (й, ^;(х) и Нр(Дь ^ ’>01) пространства относительно базы ^ над группами коэффициентов (д. и б! соответственно. Когда содержит все открытые множества ,5 ,
то эти группы совпадают с группами гомологий и когомологий Александрова-Чеха пространства _£ над группами коэффициентов (д. и соответственно. Теорема 1.2.2 утверждает, что если & - компактное пространство, то группы МР(£>>^;&) и нХЪ >%■,&) не зависят от выбора ^ из £> , а зависят только от пространства . Одним из основных результатов в § 2 являются теоремы 1.2.3 и 1.2.13. Теорема 1.2.3 утверждает изоморфность групп гомологий (групп
когомологий НР(.Д?> ^; (х) ) топологического пространства Б относительно дизъюнктивной базы с группами

являющаяся непустым подкомплексом комплекса ^ представляет собой конус и, следовательно, ацикличен. Для каждого фиксированI «Л ] уО
ного £ , х. е ои , левая грань
3£ = { ^ I
являющаяся непустым подкомплексом комплекса представляет
собой конус и, следовательно, ацикличен. Следовательно — ацикличное граневое отношение. Таким образом, а - граневое отношение удовлетворяет всем условиям теоремы Зимана (см. 152], стр. 619), поэтому гомоморфизмы аутментаций , £сО&*)
индуцируют изоморфизмы
Н*(УЦ) -Л| н*(хО —Ц —Н*(Ж).(3)
=с(ЭД £сО?»)
Здесь (и в дальнейшем) н* обозначает теорию гомологий над группой коэффициентов 2.
Рассмотрим множество
Л 1 #*6 , Ь/ в ^ V и Сах
Ч **, |Л
Хс Для каждой вершины &£ симплекса
клеток из двойного комплекса Очевидно, что
множество Зл/ является граневым отношением. Обозначим черезХ> подкомплекс двойного цепного комплекса С (А)® с(М порожденный граневым отношением 31 , а через