Минимальные сети на поверхностях многогранников

• Автор: Стрелкова, Наталия Павловна
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 84 с. : ил.

Оглавление
Введение

1 Сети: определения и предварительные результаты

1.1 Понятие сети

1.2 Деформации и перепараметризация сети

1.3 Обыкновенные сети и сети-отображения

1.4 Сходящаяся последовательность сетей

1.5 Виды экстремальных сетей

1.6 Критерии локальной минимальности сетей и замкнутые ло-

кально минимальные сети на поверхности выпуклых многогранников

2 Устойчивость локально минимальных сетей

2.1 Результаты
2.1.1 Устойчивость локально минимальных сетей в пространствах неположительной кривизны
2.1.2 «Устойчивость» относительно последовательности
деформаций
2.2 Устойчивость локально минимальных сетей в пространствах
неположительной кривизны в смысле А.Д.Александрова
2.3 «Устойчивость» относительно последовательности деформаций
3 Замкнутые локально минимальные сети на выпуклых многогранниках
3.1 Определения и предварительные результаты
3.1.1 Многогранники, многогранные метрики и развёртки.
3.1.2 Геодезические и многоугольники
3.2 Результаты
3.2.1 Необходимое условие па кривизны вершин
3.2.2 Реализация плоских графов на многогранниках в виде минимальных сетей
3.2.3 Дважды покрытые треугольники

3.2.4 Минимальные сети на тетраэдрах
3.2.5 Система разрезов: геометрическое необходимое условие.
3.2.6 Сведение задачи к простым минимальным сетям
3.2.7 Факты и гипотезы о существовании минимальных сетей на многогранниках
3.2.8 Физические соображения и тетраэдры с кривизнами {М’Т>Т>
3.3 Доказательства теорем про сети на многогранниках
3.3.1 Доказательство леммы 3.6 о длинах сторон геодезического многоугольника
3.3.2 Доказательство теоремы 20 о многограннике, на котором минимальные сети реализуются как простые
3.3.3 Пример многогранника без минимальных сетей, имеющего систему разрезов (теорема 18)
3.3.4 Доказательство теоремы 21 о существовании мини-
мальных сетей на почти всех многогранниках с кривизнами, кратными |
3.3.5 Доказательство теоремы 22 о тетраэдрах с кривизпа-
(к к 5я- Й7г 1
I 3 ’ 3 ’ 3 ’ 3 ■>
Литература

Введение
Диссертация посвящена теории экстремальных сетей (это «разветвлённый» аналог геодезических) — одному из активно развивающихся разделов геометрии и топологии. Исследуются геометрические свойства замкнутых локально минимальных сетей на поверхностях выпуклых многогранников и задача описания класса выпуклых многогранников, на поверхности которых существуют такие сети (глава 3). При изучении замкнутых локально минимальных сетей на многогранниках возник естественный вопрос об устойчивости таких сетей. Ответить на этот вопрос удалось в гораздо большей общности — в диссертации доказана теорема об устойчивости локально минимальных сетей в пространствах неположительной кривизны в смысле А.Д. Александрова (глава 2). В дальнейшем замкнутые локально минимальные сети на многогранниках мы будем, для краткости, часто называть просто минимальными сетями.
Сетыо мы называем геометрическую реализацию (абстрактного) графа, т. е. представление вершин графа точками некоторого пространства, а ребер — кривыми, соединяющими соответствующие точки. Локально минимальные сети представляют собой один из вариантов обобщения понятия геодезической па «разветвлённый» случай. А именно, неформально говоря, сеть называется локально минимальной, если любой её достаточно малый фрагмент является кратчайшей сетыо. Локально минимальные сети с границей в евклидовом пространстве возникают при изучении кратчайших сетей (называемых также минимальными деревьями Штейнера).
Кратчайшие и локально минимальные сети. Поиск кратчайшей сети, соединяющей данное множество точек в некотором пространстве — одна из классических задач теории экстремальных сетей, см., например, обзор в [29], [7] или [5]. Неформально говоря, речь идёт о поиске кратчайшей связной системы дорог, соединяющей данные города, называемые «граничными точками» для искомой кратчайшей сети. При этом дороги не обязаны начинаться и заканчиваться в данных городах, т.е. система дорог может содержать помимо исходных городов (граничных точек) дополнительные перекрёстки (внутренние вершины сети). Задача построения кратчайшей сети в соединяющей данные п точек, является

ГлйВЕ З
Замкнутые локально минимальные сети на выпуклых многогранниках
3.1 Определения и предварительные результаты
3.1.1 Многогранники, многогранные метрики и развёртки.
Определение. Многогранной метрикой будем называть внутреннюю метрику на двумерном многообразии, относительно которой каждая внутренняя точка многообразия имеет окрестность, изометричную либо плоскому кругу, либо окрестности вершины конуса с плоской метрикой, а каждая граничная точка многообразия имеет окрестность, изометричную окрестности вершины сектора с плоской метрикой.
Здесь метрика называется внутренней, если расстояние между любыми двумя точками равно точной нижней грани длин соединяющих их кривых. Под сектором с полным углом а < 2тт мы понимаем сектор на плоскости, ограниченный двумя лучами с общим началом и углом а между ними. Под конусом с полным углом а < 2тт мы понимаем метрическое пространство, полученное из сектора с углом а отождествлением двух его граничных лучей. Рассматривая универсальное накрытие над плоскостью без одной точки, легко определить сектор и конус с полным углом, большим 2тг, по нам они не понадобятся, поэтому мы не приводим подробные определения.
Ясно, что на компактном многообразии с многогранной метрикой найдётся лишь конечное число точек, не имеющих изометричной кругу окрестности. Эти точки мы будем называть вершшіами многогранной метрики. Кривизна вершины по определению равна 2п минус полный угол при этой вершине (т.е. полный угол при вершине конуса, которому изомстрич-на окрестность данной вершины). Про остальные внутренние точки будем говорить, что они имеют нулевую кривизну. Мы будем рассматривать только многогранные метрики неотрицательной кривизны, т.е. метрики, в которых кривизны всех вершин положительны.