Голоморфно-проективные преобразования почти эрмитовых многообразий

• Автор: Никифорова, Анна Валентиновна
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 85 с.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение

Глава 1. Почти эрмитовы многообразия

§ 1. Почти эрмитовы структуры на многообразиях §2. Основные классы почти эрмитовых структур Глава 2. Об инвариантности классов почти эрмитовых структур при голоморфно-проективных преобразованиях
§3. Голоморфно-проективные преобразования почти эрмитовых многообразий §4. Инварианты голоморфно-проективных преобразований почти эрмитовых многообразий §5. Условия инвариантности классов Грея-Хервеллы относительно НР-преобразований Глава 3. Основной инвариант голоморфно-проективных преобразований почти эрмитовых многообразий §6. Объект Вейля голоморфно-проективного преобразования почти эрмитова многообразия §7. Свойства основного инварианта голоморфно-проективного преобразования на пространстве присоединенной О-структуры §8. О геометрическом смысле обращения в нуль объекта Вейля на пространстве присоединенной О-структуры §9. Об объекте Вейля голоморфно-проективного
преобразования приближенно келеровых структур Глава 4. Голоморфно проективные преобразования почти эрмитовых многообразий классов К2, Из §10. Об условиях инвариантности почти эрмитовых многообразий классов Яь К2, Кз относительно голоморфно-проективных преобразований Список литературы

ВВЕДЕНИЕ
Теория геодезических отображений, то есть отображений псевдоримановых пространств, при которых сохраняются геодезические, является одним из старейших направлений исследований в римановой геометрии, истоки которого лежат в трудах Т.Леви-Чивита [37], Т.Томаса [43], Г.Вейля [45]. Т.Леви-Чивита пришел к общей проблеме геодезических отображений римановых пространств при изучении уравнений динамики. Как известно, движение некоторых типов механических систем, многие процессы в гравитационных и электромагнитных полях, в сплошной среде протекают по траекториям, которые можно рассматривать как геодезические линии аффинно связного или риманова пространства, определяемого энергетическим режимом, при котором протекает процесс, если внешние силы отсутствуют, или по кривым, вектор первой кривизны которых представляет собою вектор обобщенных внешних сил. Степень подвижности римановых пространств относительно геодезических отображений характеризует тот произвол, которым мы можем распоряжаться при выборе модели данного динамического процесса, а также с целью его оптимизации. Поэтому сохраняется актуальность задачи изучения внутренних тензорных характеристик римановых пространств, допускающих или не допускающих локальные или глобальные нетривиальные геодезические отображения, в частности римановых пространств, снабженных дополнительной структурой.
Однако исследования показывают, что зачастую такие структуры не допускают нетривиальных геодезических отображений, сохраняющих комплексную структуру, что справедливо, например, для келеровых многообразий ([47], [44]). В связи с этим внимание исследователей обратилось к различным обобщениям теории геодезических отображений.

Наиболее известными из них являются теории (п-2)-проективных пространств (В.Ф.Каган [7]), конциркулярная геометрия (К.Яно [49]) и теория голоморфно-проективных отображений келеровых многообразий, при которых сохраняются почти геодезические специального вида (так называемые аналитические планарные кривые, называемые также голоморфно-проективными) и комплексная структура келерова многообразия. Понятие голоморфно-проективного отображения было введено Оцуки и Тасиро в 1954 году [39] и с тех пор многократно исследовалось с различных точек зрения. Этой теме были посвящены работы многих авторов (напр., Д.В.Беклемишев [3], И.Тасиро [41], С.Исихара [35], К.Яно [48]) . Фундаментальный вклад в развитие теории голоморфно-проективных отображений был внесен Одесской геометрической школой (напр., Н.С.Синюков [23], В.В.Домашев, Й.Микеш [5], [19]). В результате получены инвариантные геометрические объекты этого отображения [41], [35], найдена новая форма основных уравнений голоморфно-проективных отображений келеровых пространств, доказаны основные теоремы теории голоморфно-проективных отображений, сохраняющих комплексную структуру [25], доказано, что некоторые классы келеровых пространств не допускают голоморфнопроективных отображений, определены условия, при которых келерово пространство допускает голоморфно-проективные отображения [5].
Однако до настоящего времени все исследования по этой проблематике велись почти исключительно в рамках геометрии келеровых многообразий, хотя понятие голоморфно-проективного отображения имеет смысл для любого почти эрмитова многообразия.
Дальнейшее развитие теории голоморфно-проективных преобразований в теоретическом и прикладном направлениях весьма актуально. С геометрической точки зрения интересно получение исчерпывающей классификации пространств, допускающих

где У,О0 = “|/'г(1:), М/г(1) = ~0'г(1)- Или, в безындексной форме:
Т(Х, У) = |/(Х)У + |/(У)Х + ст(Х)ТУ + а(У)Ж, X, У е У(М). (3.2)
Учитывая это соотношение, для преобразованной связности получим: Ух(1)У = Ух(ЗУ)-ТУхУ = Ух(ТУ) + Т(Х,1У)-ЗУхУ-ЩХ,У) =
= УХ(Г)У + |/(ЗУ)Х - у/(У)Ж + а(Ж)Ж + <т(У)Х. (3.3)
Теорема 3.1. Голоморфно-проективное преобразование почти эрмитовой структуры удовлетворяет условию:
а = -|/о.Г. (3.4)
Этот факт является обобщением хорошо известного факта келеровой геометрии [23].
Доказательство. Из (2.2:2) вытекают соотношения {УХ(1)У,У) = 0 и ё(Ух(1)У,У) = 0. Тогда, с учетом (3.3) получим
О = 1(УХ(1)У, У) - 1(УХ(1)У, У) + у(1У)1(Х, У) - у(У)1(1Х, У) +
+ о(1У)£дХ,У) + с(У)ё(Х,У).
Заметим, что если У - собственный вектор эндоморфизма { с собственным значением X, то
В(Ух(1)У,У) = <Ух(1)У,уУ> = Х(Ух(3)У,У) = 0.
Поэтому из предыдущего соотношения в силу невырожденности метрики имеем:
д(Ж)У + ц/(У)1У - а(1У)ТУ + а(У)У = 0.
С учетом линейной независимости векторов У и Ж, получаем:
4/00 = о(лг).
С другой стороны, поскольку метрика g знакоопределена, в каждой точке р е М эндоморфизм /р допускает базис, состоящий из собственных