Геодезические преобразования почти контактных метрических многообразий

• Автор: Дондукова, Надежда Николаевна
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Место защиты: Б.м.
• Количество страниц: 86 с.

Глава 1. Основные тензоры почти контактных метрических

многообразий

§1. Почти контактные метрические многообразия и их присоединенная С-структура

§2. Структурные уравнения присоединенной С-структуры

§3. Основные классы почти контактных метрических структур

§4. Структурные уравнения косимплектических многообразий

§5. Структурные уравнения сасакиевых многообразий

§6. Структурные уравнения многообразий Кенмоцу

§7. Структурные тензоры ЛС-многообразий

Глава 2. Геодезические преобразования некоторых классов

почти контактных метрических многообразий

§1. Понятие геодезического преобразования
§2. Проективные инварианты косимплектических многообразий
§3. Проективные инварианты сасакиевых многообразий
§4. Проективные инварианты многообразий Кенмоцу
Глава 3. Контактно-геодезические преобразования почти контактных метрических многообразий
§1. Контактно-геодезические преобразования структурных тензоров
почти контактных метрических многообразий
§2. Контактно геодезические преобразования некоторых классов почти контактных метрических многообразий
Глава 4. Контактно-геодезические преобразования высших
порядков почти контактных метрических многообразий
§1. Понятие р-геодезического преобразования
§2. Контактно 2-геодезические преобразования первого линейного типа
§3. Контактно 2-геодезические преобразования второго линейного типа
Список литературы

Впервые задача о геодезическом отображении поверхностей была поставлена итальянским геометром Э.Бельтрами в 1865 году [26], [27]. Им была рассмотрена и решена задача отображения поверхности на плоскость при котором геодезические кривые переходят в прямые (то есть в геодезические на плоскости). Теория отображений исевдоримановых пространств, при которых сохраняются геодезические, является одним из старейших направлений исследований в римановой геометрии, истоки которого лежат в трудах Т. Леви-Чивита [37], Т. Томаса[41], Г.Вейля [43]. Т.Леви-Чивита пришел к общей проблеме геодезических отображений римановых пространств при изучении уравнений динамики. Как известно, движение некоторых типов механических систем, многие процессы в гравитационных и электромагнитных полях, в сплошной среде протекают по траекториям, которые можно рассматривать как геодезические линии аффинно связного или риманова пространства, определяемого энергетическим режимом, при котором протекает процесс, если внешние силы отсутствуют, или по кривым, вектор кривизны которых представляют собою вектор обобщенных внешних сил. Степень подвижности римановых пространств относительно геодезических отображений характеризует тот произвол, которым мы можем распоряжаться при выборе модели данного динамического процесса, а также с целыо его оптимизации. Поэтому сохраняется актуальность задачи изучения внутренних тензорных характеристик римановых пространств, допускающих или не допускающих локальные или глобальные нетривиальные геодезические отображения, в частности римановых пространств, снабженных дополнительной структурой.
Исследования показывают’, что зачастую дополнительные структуры римановых пространств обладают свойством геодезической жесткости, то есть не допускают нетривиальных геодезических преобразований, сохраняющих структуры. Классическим результатом в этом направлении является результат Уэстлейка [42] и Яно [44], согласно которому келе-рово многообразие не допускает геодезических отображений, сохраняющих комплексную структуру. И в работе [1] Х.М. Абоуда выделены классы Грея-Хервелы почти эрмитовых многообразий, которые не допус-

кают нетривиальных голоморфно-геодезических преобразований (геодезические преобразования, сохраняющие структурный эндоморфизм). В настоящее время активно исследуются римановы многообразия, наделенные почти контактной метрической структурой. Поэтому получение контактного аналога известного результата Уэстлейка и Яно весьма актуально.
Напомним, что теория почти контактных метрических структур занимает важное место в современных дифференциально- геометрических исследованиях и является естественным обобщением так называемой контактной геометрии, имеющей многочисленные приложения в современной математической физике, например, в классической механике и теории геометрического квантования, теории супергравитации, теории Ка-луцы -Клейна и т.д.
Уже более сорока лет почти контактные многообразия являются предметом интенсивного исследования ученых-геометров. Изучение этого типа многообразий с точки зрения их дифференциально-геометрических структур началось с появлением основополагающих работ Чженя [31], Дж. Грея[32] , С.Сасаки[39]. В 1953 году Чжень обнаружил, что контактное многообразие допускает С-структуру со структурной группой {е} х и(п). Многообразия, допускающие такую структуру, Дж. Грей назвал почти контактными многообразиями. Сасаки заметил [39], что такая С-структура порождает тройку {Ф, £, 77}, где Ф—тензор типа (1,1), называемый структурным оператором, £—вектор, 77—ковектор, называемые характеристическим вектором и контактной формой структуры соответственно. Эта тройка обладает свойствами: т/(£) = 1, Ф2 = —гс1 + 77 ® £, из которых легко вывести, что Ф(£) = 0ит7оФ = 0. Кроме того, исходя из произвольной римановой метрики Н на таком многообразии, он построил риманову метрику {X, У) = Я(ФХ, ФУ) + Н{Ф2Х, Ф2У) + т](Х)г1{У), дополняющую {Ф, £,??} до почти контактной метрической структуры [39]. Почти контактные метрические структуры тесно связаны с почти эрмитовыми структурами. Например, если (М, Ф,£, т],д)—почти контактное метрическое многообразие, то на многообразии Мхй канонически индуцируется почти эрмитова структура [30]. Основные классы почти контактных метрических структур приведены в работе В.Ф. Кириченко [7]. Среди ДС-структур наиболее интенсивно изучены косимплектические

Теорема 2.3 Если М2п+1 косимплектическое многообразие класса Тч, то М2п+Х риччи-плоско.П
Пусть М-косимплектическое многообразие класса Та, то есть РЦЮ
0. В силу (2.44) это равносильно тому, что
то есть
К = о.
Тогда компонента тензора Риччи такого многообразия выражается следующим образом гйь = 0. То есть многообразие в силу (1.20) является риччи-плоским. Проводя рассуждения в обратном порядке, убеждаемся, что справедлива
Теорема 2.4 Пусть М2п+1—косимплектическое многообразие. Тогда М2п+Х является косимплектическим многообразием класса Та тпогда и только тогда, когда М2п+1 является риччи-плоским многообразием .□
Из Теоремы 2.2 и Теоремы 2.4 вытекает
Следствие 2.1 Пусть М2п+1—косимплектическое многообразие размерности больше 3. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1)М2п+1— риччи-плоское многообразие ;
2)М2п+1~косимплектическое многообразие класса Т;
3)М2п+1—косимплектическое многообразие класса Га!