Коммутирующие дифференциальные операторы и их приложения в дифференциальной геометрии

• Автор: Миронов, Андрей Евгеньевич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 198 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Коммутирующие обыкновенные дифференциальные операторы ранга два
1.1 Коммутативные кольца дифференциальных операторов
ранга два, отвечающие спектральным кривым рода два
1.2 Самосопряженные коммутирующие дифференциальные операторы ранга 2, отвечающие спектральным кривым рода

2 Разностные коммутирующие операторы Кричевера-Нови-кова с полиномиальными коэффициентами
2.1 Уравнения Кричевера-Новикова на дискретную динамику
параметров Тюрина
2.2 Доказательство теорем 2.1 и 2.
3 Коммутирующие дифференциальные операторы нескольких переменных с матричными коэффициентами, отвечающие многомерным алгебраическим многообразиям
3.1 Формулировка основных результатов
3.2 Модули Бейкера-Ахиезера
4 Ортогональные криволинейные системы координат в Кга
и фробениусовы многообразия
4.1 Ортогональные криволинейные системы координат в К",
отвечающие сингулярным спектральным кривым
4.2 Примеры алгебраических фробениусовых многообразий . .

5 Минимальные и гамильтоново минимальные лагранжевы подмногообразия вСи СРп
5.1 Примеры минимальных и гамильтоново минимальных ла-гранжевых подмногообразий вС" и СРп
5.2 Уравнения гамильтоново минимальных лагранжевых торов в СР
5.3 Иерархия Веселова-Новикова и интегрируемые деформации минимальных лагранжевых торов в СР
5.4 Конечнозонные минимальные лагранжевы поверхности в
СР2 с диагональной индуцированной метрикой
5.5 Конформно плоские минимальные и гамильтоново минимальные лагранжевы торы в СР
Список литературы

Введение
Диссертация посвящена построению коммутативных колец обыкновенных дифференциальных операторов ранга 2, их разностных аналогов, коммутативных колец дифференциальных операторов нескольких переменных с матричными коэффициентами, связанных с многомерными алгебраическими многообразиями, а также некоторым приложениям теории интегрируемых систем в дифференциальной геометрии и математической физике.
Глава 1 посвящена обыкновенным коммутирующим дифференциальным операторам ранга 2.
Уравнения коммутации двух обыкновенных дифференциальных операторов
представляют собой сложную систему нелинейных уравнений на их коэффициенты. Одни из первых результатов по этим уравнениям были получены в 1920-30-е годы Берчналлом и Чаунди |1]-[3]. В частности, Берчналл и Чаунди доказали следующее утверждение.
• Если ЬЬ2 = Ьг-Гх, то существует ненулевой полином <5 от двух коммутирующих переменных такой, что (д(Ь1,Ь2) = 0.
Например, несложно убедиться, что операторы
Т _ & 2 _ 3_
1 дх2 х2! 2 Лх3 х2 дх х

Глава 1. Коммутирующие операторы ранга

где Хо + сгХо и (хо — о’Хо)2 также определены на С. Таким образом мы сводим задачу нахождения Хі на Г к нахождению трех функций Хъ Хо + сХо и (хо - сгхо)2 иа С- Смена знака у у/(хо - ^Хо)2 Дает функцию стхо-Имеет место
Теорема 1.1 Компоненты хо(ж,-Р) и Хі(ж,-Р) матрицы ^-Ф-1 имеют следующий вид
V (г рч _ 7((-г) _ 72(ж) _ 21М _ ^(-г)
1 г-7! (ж) г-72 (ж) 7і(ж) 7г(ж)’
■ "-+ І+^* 5«'
д(ж ~) = -рі(х)7^2(^) + 2&і(жК(ж) + ^2(ж)722(а:)
(г - ",Т(ж))2 z-'y1{x) (г-7'2(ж))
| 2С2(-т)72(а:) + І_ + I / 2(7і(ж) + 72(ж)) + £зЛ + 7і(ж)7ІМ
2 - 72(ж) г2 г 71(ж)7г(ж) (х) с
Все нули функции И имеют первый порядок и расположены в точках ветвления, все полюсы имеют второй порядок (поэтому функция /Н корректно определена на Г). Функции 7г(ж) и 72 (ж) удовлетворяют нелинейному дифференциальному уравнению, которое интегрируемо в квадратурах относительно 71(2;), если положить
•»<*>-§^$)’Л'В'С£С-(13) В этом случае решение этого уравнения имеет следующий вид
-■М = /у(
- 1(Ы)
'* , С - Ву
Функции Н(х), Ті(ж), <7і(ж) и к2(ж) выражаются через 71 (ж) и 7г(ж) по формулам (1.23), (1.19)-(1.22) и (1.13).