Фокусные особенности интегрируемых гамильтоновых систем

• Автор: Изосимов, Антон Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 98 с. : ил.

Содержание
Введение
1 Гладкие инварианты в случае двух степеней свободы
1.1 Фокусные особенности интегрируемых систем с двумя степенями свободы
1.1.1 Нормальная форма
1.1.2 Локальная топология слоения
1.1.3 Единственность канонических интегралов и группа
локальных автоморфизмов
1.1.4 Топология особого слоя и полулокальная топологическая классификация
1.1.5 Точность симплектической формы в окрестности
особого слоя
1.1.6 Совпадение функций /2 для всех особых точек на
слое
1.1.7 Согласование знаков канонических интегралов
1.2 Гладкая классификация в случае двух степеней свободы
1.2.1 Гладкие особенности типа фокус-фокус
1.2.2 Случай одной особой точки на слое
1.2.3 Случай двух особых точек на слое
1.2.4 Полный -инвариант фокусной особенности сложности два
1.2.5 Теорема реализации
1.2.6 Случай нескольких особых точек на слое
2 Топологическая классификация в многомерном случае
2.1 Дальнейшие свойства фокусных особенностей с двумя степенями свободы
2.1.1 Описание группы автоморфизмов
2.1.2 Всякая фокусная особенность Аи1-эквивариантно
послойно гомеоморфна модельной
2.1.3 Сингулярная переменная «угол» на фокусной особенности
2.2 Топологическая классификация нерасщепляемых многомерных фокусных особенностей
2.2.1 Правильные кубические разбиения тора
2.2.2 Классификация фокусных особенностей
2.2.3 Модель почти прямого произведения
2.2.4 Подсчет числа особенностей

2.2.5 Особенности сложности два в случае четырех степеней свободы
2.2.6 Классификация почти торических особенностей
2.3 Расщепляемые особенности
2.3.1 Действие тора
2.3.2 Конструкция
2.3.3 Особенности ненулевого ранга
3 Топологические свойства многомерных фокусных особенностей
3.1 Монодромия
3.1.1 Матрица разложения базисных циклов
3.1.2 Монодромия
3.2 Устойчивость
3.2.1 Ь-тип
3.2.2 Неприводимые особенности
3.2.3 Устойчивость неприводимых особенностей
4 Гладкие инварианты многомерных особенностей
4.1 Гладкая эквивалентность неприводимых особенностей
4.2 Препятствие к разложению в гладкое почти прямое произведение
4.3 С1-классификация

Введение
Напомним, что гладкое многообразие М2п называется симплектическим, если на нем задана замкнутая невырожденная 2-форма ш — симплек-тическая структура. Пусть Я — гладкая функция на симплектическом многообразии М2п. Векторное поле
sgrad Я = w-1d Я
называется косым градиентом функции Я. Соответствующая динамическая система называется гамильтоновой, Я — ее гамильтонианом. Число п называется числом степеней свободы гамильтоновой системы.
Симплектическая форма определяет еще одну структуру на М — скобку Пуассона, бинарную операцию на пространстве гладких функций, задаваемую формулой
{/, д} = w (sgrad /, sgrad д).
Утверждение 1.
1. Скобка Пуассона задает на С°°(М) структуру алгебры Ли.
2. Отображение sgrad : С°°(М) —> Vect(M) является гомоморфизмом алгебр Ли, что означает, что
sgrad {/, g} = [sgrad /, sgrad (/].
Доказательство см., например, в [1, 4].
Далее, имеет место очевидная формула
где d/dt — производная вдоль векторного поля sgrad II. Таким образом, / является интегралом sgrad II тогда и только тогда, когда скобка Пуассона f и Н равна нулю (в таком случае говорят, что / и Н коммутируют, или находятся в инволюции). В частности, гамильтониан Н всегда является интегралом sgrad Я -- «закон сохранения энергии».
Более подробное обсуждение понятий симплектического многообразия, гамильтоновой системы и скобки Пуассона можно найти в книгах
[1, 4].
Определение 1. Предположим, что гамильтонова система sgrad Я на симплектическом многообразии М2п обладает п интегралами Д

Покажем, что эти формулы задают искомый диффеоморфизм. Проверим сначала невырожденность. Рассмотрим точку из Ье П Сс/2. Имеем
дх дхі 1 даі. 2х + 1.
дї = а' + 2ас + Г--Т-)
дх дхь
дф ь дф ’
дф дфь даь
д1а + {Фь~Ф)' дф дфь
Тф-а+ас-
Очевидно, имеем
Запишем якобиан

Т т , дх 1 дфь дсхь дхь дфь 2х +1
Д - + асТх + -аь-ас + - Ф) + " **))
Первые три слагаемых, очевидно, положительны. Далее,
.а , дФьДх + 1 1 дфь дхь
-Эф<* - Й + Ж(~ - 8« - 2,ГЖ > °-
Следовательно, якобиан нашего отображения положителен на Ье ГСе/2. Аналогично показывается невырожденность в Яс П Се/2- Невырожденность в остальных областях очевидна.
Построенное отображение взаимно-однозначно. Действительно, достаточно проверить взаимно-однозначность ограничения £ на каждый слой. Мы имеем невырожденное отображение цилиндра в цилиндр, переводящее края в края и диффеоморфное в окрестности этих краев. Всякое такое отображение является диффеоморфизмом. Лемма доказана. □
Доказательство теоремы. Пусть (М4, Р) — первая особенность,
(Аг4, С) — вторая, а хЛ! £ М4, Хг £ Мл — соответствующие особые точки типа фокус-фокус. Пусть (р, д) — некоторые нормальные координаты в окрестности хм- Окрестность хм, на которой определено исходное отображение ф, содержит некоторый шар ие(хм)
Перенесем координаты р, д на окрестность х с помощью отображения ф. Отображение ф в новых координатах будет попросту тождественным.