Существование поверхности с данной внешней кривизной в римановом пространстве

• Автор: Кишуков, Хадис Мугазович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Ленинград
• Количество страниц: 82 c. : ил

СОДЕШШИЕ

ВВЕДЕНИЕ . . г. . . . V V V ... . . . . V

Гл.' I. ВЫВОД УРАВНЕНИЯ И АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ РЕШЕНИЯ И

ЕГО ГРАДИЕНТА . !;* 12 .

§1. Вычисление внешней кривизны Кл.СФ) . '

§2; Эллиптичность основного уравнения. .’ '. V . V

§3. Априорные оценки максимума и минимума решения. V

§4. Априорные оценки модуля градиента решения

Ш. 2. АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ НОРМАЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ

§1. Оценки нормальной кривизны поверхности, не

зависиьше от параметризации многообразия

§2. йце раз об оценках нормальной кривизны для
поверхности с данной внешней кривизной в
римановом многообразии
§2.1. Получение основного неравенства
§2.2. Упрощение основного неравенства
§2.3. Существование оценки нормальной кривизны для поверхности с данной внешней кривизной в римановом многообразии
Гл. 3. СУЩЕСТВОВАНИЕ ПОВЕРХНОСТИ С ДАННОЙ ВНЕШНЕЙ
КРИВИЗНОЙ В РИМАНОВОМ МНОГООБРАЗИИ
§1. Построение однопараметрического семейства
уравнений и некоторые свойства его решений
§2. Вычисление производной внешней кривизны
поверхности ф по направлению нормали
поверхности Ф.Р
§3. Существование гомеоморфной сфере поверхности
с данной внешней кривизной в римановом

многообразии
ЖГЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ Общая характеристика работы
Теория общих
выпуклых поверхностей является в настоящее время наиболее развитым разделом современной геометрии "в целом". Построение этой теории,1 решение основных ее задач было выполнено главным образом в работах крупных советских геометров академика А.Д.Алек-савдрова, академика А.В.Погорелова, член корр. АН СССР Н.В.Ефи-мова и их учеников. Но эти работы касались, как правило, только выпуклых поверхностей в классических пространствах Евклида, Лобачевского и Римана (эллиптическом)';1 Вопросы геометрии "в целом" для поверхностей в других неевклидовых пространствах почти не рассматривались. Лишь в последние годы появились работы по геометрии "в целом", касающиеся этих пространств; среди которых прежде всего отметим работы А.В.Погорелова о проблеме изометрического погружения гомеоморфного сфере риманова многообразия в общее трехмерное риманово пространство; Развитие теории общих выпуклых поверхностей в неевклидовых пространствах является в настоящее время одной из актуальных задач геометрии "в целом".
Одной из проблем геометрии "в целом" является проблема построения выпуклой поверхности с данной кривизной.
Первые результаты этого направления были получены еще в 1897 году Г.Минковским [23] при решении проблемы',' которая в настоящее время называется его именем: восстановление поверхности по гауссовой кривизне, заданной как функция единичного вектора внешней нормали.
Б сороковые годы А;Д.Александровым (см. [I] , [2] ) были получены основные теоремы о существовании поверхности с заданным распределением ее положительной интегральной кривизны

Рассмотрим выражение
Р'игзГ ^ххц •

Из (46) следует
Р'МггГ ^2.1 }ц ~ ^ хх~ ^хх;И + ^2лг 'б'-дл4' 0ц хх~ ^ 2.x-и
Дифференцируя по а и ТГ ;, соответственно, следующие два равенства ((49);(50))
^хх^л — ,/хгх
Ь?-~ = ^ *-
и вычитая результаты, получим (см.(51))
^хх~ —]>лг.,А2-~у?г.л)11 +
Отсюда
Ул^г-Угг^ =-0($ц). (?
Далее (см.(41))
Наконец; оценим разность
С с
^ 1г2. — '-'ХХ;11
Дифференцируя равенство (52), подучаем
^хх = 0 (4) 0(1) ^хх;х+- 0^*-) ; (80)
с 1г)М = (2^ УЛ + ЧД V») ^+2£у^+ 0 . (81)