Граничные наклоны трехмерных многообразий

• Автор: Сбродова, Елена Александровна
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Челябинск
• Количество страниц: 64 с. : ил.

1 Наклон
1.1 Метод нормальных поверхностей Хакена в многообразиях
с граничными узорами
1.2 Существенные поверхности в многообразиях с граничными узорами
1.3 Наклон и специальная триангуляция
2 Плоские поверхности
2.1 Алгоритмическое нахождения плоской поверхности с заданным наклоном края
2.2 Типы наклонов
2.3 Оценка средней длины кривых наклона
2.4 Алгоритмическое нахождение плоской поверхности
3 Поверхности произвольного рода
3.1 Алгоритмическое нахождение граничного наклона ограниченного ориентируемого рода
3.2 Алгоритмическое нахождение граничного инъективного на
клона ограниченного рода
Библиография

Напомним, что п-мерньш многообразием называется хаусдорфово топологическое пространство, каждая точка которого имеет окрестность, гомеоморфную n-мерному диску или га-мерному полудиску. Множество точек п-мерного многообразия М, не имеющих окрестности, гомеоморф-ной n-мерному диску, называется краем и обозначается через дМ. В настоящей работе мы будем рассматривать только компактные, ориентируемые, трехмерные многообразия и вложенные в них поверхности (2-мерные подмногообразия).
Хорошо известно, что любое замкнутое ориентируемое трехмерное многообразие можно получить перестройкой по зацеплению. Опишем эту процедуру. В сфере S3 рассмотрим зацепление L С S3. Вырежем из сферы S3 открытую трубчатую окрестность зацепления L. Получим компактное многообразие Cl, называемое дополнительным пространством зацепления L, край которого состоит из набора торов. Приклеим к каждой компоненте края дСь полноторие D2 х 51 по гомеоморфизму края на край. В результате получим замкнутое трехмерное многообразие М. Будем говорить, что М получено перестройкой по зацеплению L. Заметим, что результат вклеивания полнотория определяется указанием образа края его меридионального диска. Таким образом, чтобы задать перестройку по зацеплению L, достаточно указать набор простых замкнутых нетривиальных кривых (образы краев меридиональных дисков приклеиваемых полноторий) по одной для каждой торической компоненты края BClНа каждой торической компоненте 7; С дСь выберем систему координат Ai} (гомологический базис для ДфТ;)). Любая нетривиальная простая замкнутая кривая а С TJ может быть представлена в виде а = p/ii Т qi, где р и q — целые взаимно простые числа. Геометрический смысл чисел р и q заключается в том, что - равно тангенсу угла наклона геодезической кривой, изотопной а, от параллели А* (смотри рисунок 1). Заметим, что существует взаимно однозначное соответствие между классами изотопных нетривиальных кривых на торе и множе-

/Г XI
а =2ц+ЗХ,
Рис. 1: Кривой а соответствует наклон, равный
ством <0>и {^} наклонов. В дальнейшем, под наклоном на торе мы будем понимать нетривиальную кривую на этом торе, определенную с точностью до изотопии (смотри, например, [9, 14, 17]). Таким образом, чтобы задать перестройку по зацеплению, достаточно указать наклон на каждой торической компоненте края ОС£.
Следующее определение обобщает понятие торического наклона на случай произвольной поверхности.
Определение 1.6. Наклоном на замкнутой поверхности 5 называется набор а = {«1, с*2, •.., сеп) нетривиальных простых замкнутых кривых на Б, которые попарно не пересекаются и не изотопны. Два наклона а = {ад, ..., ап} и /3 = {& 0п} на 5 считаются равными, если существует изотопия поверхности 5, переводящая набор кривых {ад ап} в набор {Д Д„}, где Д. е 0.
Объектами исследования в данной работе являются наклоны на крае произвольного трехмерного многообразия.
В трехмерном многообразии М рассмотрим собственную вложенную поверхность ^сМи наклон а ={(*1, с*2, • • ■, а„} на ЭМ. Напомним, что вложенная поверхность Р в трехмерном многообразии М называется собственной, если Р П дМ = №. Будем говорить, что край <№ поверхности Р имеет наклон а, если дР = Дод и Да2 и • • • и кпап, т. е. дР состоит из к копий кривой ад, Д копий кривой «2 и т. д., где числа {Д} принимают натуральные значения. Обозначим наклон края поверхности Р через
Среди всех наклонов на крае трехмерного многообразия М выделяют, так называемые, граничные наклоны, т. е. наклоны краев вложенных в многообразие собственных поверхностей. Задача нахождения граничных наклонов весьма интересна с точки зрения классификации трехмерных многообразий, так как вложенные поверхности, а с ними и граничные наклоны, несут информацию о структуре трехмерного многообразия
[дп
Глава 3. Поверхности произвольного рода

чистая в (М, Г') существенная в (М, Г) ориентируемая поверхность, и
3. Допустим, что найдется такая нормальная чистая в (М, Г') существенная в (М, Г) ориентируемая поверхность Гм, что #(Ддг) < N. Без ограничения общности можем считать, что поверхность Рм минимальна, т. е. пересекает ребра триангуляции в наименьшем числе точек среди всех нормальных чистых в (М, Г') поверхностей чисто изотопных в (М, Г') поверхности Ддг. Если поверхность Ду является фундаментальной, то теорема доказана. Предположим, что Ду не является фундаментальной, и существует разложение
в геометрическую сумму фундаментальных непустых связных чистых в (М, Г') поверхностей. По следствию 1.1 каждая из поверхностей Д,-, где I < 3 < т. является существенной в (М, Г) и отлична от проективной плоскости.
Нетривиальные компоненты края любой нормальной чистой поверхности в (М, Г'), в силу выбора граничного узора Г;, лежат в объединении JiIntAi. Поэтому все кривые из Ш'}, 1 < ]' < т, лежат в иПША{.
к% кт — числа компонент связности краев (ЭДдг, ЭД ЭДт, соответственно. Из условия аддитивности эйлеровой характеристики при
геометрическом суммировании имеем равенство:
Рассмотрим два случая:
А. Пусть хотя бы одна из поверхностей, например Дх, является ориентируемой. Тогда справедливы равенства
В случае, если х( Д) + Д < О для любого 2 < 3 < т, то мы имеем неравенство р(Дх) < #(Ду) < N. Поэтому фундаментальная ориентируемая связная чистая в (М, Г') существенная в (М, Г) поверхность Дх удовлетворяет неравенству д(Д) < N, что и требовалось.
Предположим, что х(Д) + /с£ > 0 для некоторого t £ {2,3 т}. Так как Р1 является связной поверхностью, то х(Д) + Д < 2. Поэтому Х(Д) + К = 1 или 2.
Д/У = Д + Д> + • • ■ + Рт
Более того, из леммы 1.7 следует, что к = кі + кг + ■ ■ • + кт, где к,

Х(Ду) + * = £>(Д) + Д-