Магнитный геодезический поток на однородном симплектическом многообразии

• Автор: Ефимов, Дмитрий Иванович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 60 с.

Ф 0 Введение

1 Магнитный геодезический поток в однородном поле на комплексном проективном пространстве

1.1 Основные определения

1.2 Метрики Фубини-Штуди

1.3 Свойства формы Фубини-Штуди

1.4 Отображение момента

^ 1.5 Метод Тимма

1.6 Пример: магнитный геодезический поток на СР1

2 Магнитный геодезический поток на однородном сим-плектическом многообразии

2.1 Основные определения и факты

2.2 Форма Кириллова

2.3 Отображение момента
2.4 Доказательство теоремы
2.5 Пример: магнитный геодезический поток на СР2
Список литературы

О Введение
Пусть (М, ш) — симплектическое многообразие. Обозначим через {•, •} скобки Пуассона на М, соответствующие симплектической форме со. Гамильтоновой системой с функцией Гамильтона Н на симплекти-ческом многообразии (М, и) называется поток задаваемый системой уравнений
х = sgтadH(x),
где sgradД — гамильтоново векторное поле функции Н, определяемое по правилу
<1Н(х)У = ы(У,Бёга<Ш(х)), У в ТМ.
Пространство гладких функций С°°(М) образует алгебру Ли относительно скобки Пуассона
{/, 9} = ю^гаЛд, Б£га(1/).
Функция / называется интегралом гамильтоновой системы, если она коммутирует с функцией Гамильтона относительно скобки Пуассона
{/> Н} = 0.
Гамильтонова система на (М, со) называется интегрируемой по Лиувиллю, если она обладает попарно коммутирующими интегралами (2п — сНтМ), которые почти всюду функционально
независимы, то есть их дифференциалы линейно независимы почти всюду на М. Про функции /т /« говорят, что они находятся в инволюции и называют полным ипволютивным (или коммутативным) набором интегралов на М.
Вопрос нахождения интегрируемых гамильтоновых систем всегда представлял большой интерес как для математиков, так и для физиков. Задачи классической механики описываемые интегрируемыми гамильтоновыми системами достаточно долго оставались единственными проблемами, которые можно было успешно решать. Основанием для этого была классическая теорема Лиувилля по которой, если гамильтонова система обладает полным коммутативным набором
независимых интегралов, то уравнения Гамильтона могут быть решены (локально) в явном виде (или еще говорят , что система "инте-грируема в квадратурах"). При этом неособые компактные совместные поверхности уровня интегралов системы диффеоморфны торам (торам Лиувилля), а движение на этих торах, задаваемое фазовым потоком, является условно-периодическим. Сформулируем теорему Лиувилля (см. [1])
Теорема. Пусть Mf — {Д = а, ...,/« = с^} — совместная поверхность уровня первых интегралов гамильтоновой системы. Предположим, что эта поверхность компактная, связная и неособая (то есть дифференциалы функций /ь ■ -., /п линейно независимы всюду на ней). Тогда
1. Mf диффеоморфна п-мерному тору
Тп = {(<Ръ • • •. Tn) modd27r};
2. фазовый поток определяет на Mf условно-периодическое движение, то есть в угловых координатах <р = (pi рп) уравнения движения становятся линейными
(fil (t) = wi(c)t tpn(t) = wn(c)t, где с — (ch...,Cn).
Мищенко A.C. и Фоменко А.Т. предложили метод некоммутативной интегрируемости гамильтоновых систем в работе [2] (см. также [3],[4]). Этот метод удобен в случае, когда система обладает избыточным набором первых интегралов, которые не коммутируют между собой. Тогда при определенных дополнительных условиях компактные совместные поверхности уровня первых интегралов являются торами размерности меньше чем половина размерности фазового пространства, при этом движение задаваемое потоком является условнопериодическим.
Пусть Т пространство первых интегралов гамильтоновой системы, которое образует алгебру Ли относительно скобки Пуассона
где В = Р П1 В = -А©В, = В0(7. Из (34) следует, что матрица пуассоновой структуры на ТМ, ограниченная на ^ + Дг, имеет вид
/ {-,-}Ц о 0
ООО . (45)
V 0 0 Ь-}1 с)
Отметим, что (также как и в [13]) матрица ({•, -Щ) невырождена, поскольку она фактически является матрицей ограничения скобки Ли-Пуассона {•, -}д на касательное пространство в точке £ к орбите присоединенного представления Ас1(С), проходящей через £. Тогда коранг матрицы (45) равен корангу матрицы ({•, -}|р2), которая в силу
(33) является матрицей ограничения скобки Ли-Пуассона {-, -}0 на линейное подпространство
3 = -Лс = ^0(От, в - Ас1(Н)-инвариантная функция}.
Следующая лемма доказывает невырожденность матрицы ({•, -}|с)-
Лемма 2.7. Для элемента общего положения (£ш
КегЬ -}0и = (Аппв(0)тДоказательство. Ясно, что поскольку £ - элемент общего положения, то линейное подпространство Т С т совпадает с ортогональным дополнением к касательному пространству к Ас1(Н)- орбите точки £
^Он(0 = [е^] = {[е,П^еЬ}Ст.
Таким образом, для б имеем
J=% 1)]1 = {Ует,В(Г,[^]) = 0}.
Сначала докажем, что пространство (Апп0(£))т содержится в Т. Для этого рассмотрим У € (Апп0(£))т, то есть У — Ут, [V, £] = 0. Тогда из того, что б ортогонально касательному пространству к Ас1(Н)- орбите точки £, имеем
В(У, % Я) = В(У - и, Й, £]) = В(У, % £]) = В([е, V], Ь) = 0.