Сети в расширенном пространстве

• Автор: Хабурдзания, Ражден Титикоевич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 123 c. : ил

ГЛАВА I. О трехмерных сетях в расширенных аффинном Д5 и евклидовом Е5 пространствах § I. О сопряженных сетях на подмногообразиях
(А;)с

§ 2. Замечание о 3-сопряженной системе

§ 3. О понижении размерности подмногообразий (At)

§ 4. О случаях, когда подмногообразия (А- ) становятся плоскими

§ 5. О прямой (МА^) . . . .

§ 6. О сетях на подмногообразиях"tvА[ )с Е5

' Л х ъ

§ 7. Ортогональность сети линий ( со со , со ) на

подмногообразии ( )

§ 8. Оснащение подмногообразий ( А. )С

ГЛАВА 2. О четырехмерных сетях в пространстве Е s
§ I. О плоских сетях, описанных точками в
г* о.
пространстве сц
§ 2. О плоской сети, описанной точкой А5
§ 3. Ортогональность сетей (со , со , оо , со ; в

пространстве t
§4.0 фокусах прямой (АСА j )
§ 5. Замечание о преобразованиях Лапласа
§ 6. О подмногообразии ( А ^ ) С £ * , описанном
точкой Al , когда dim(A^)c^
§ 7. Приложение о подмногообразии /z с Е 5
ЛИТЕРАТУРА

В настоящее время теория многомерных сетей занимает определенное место в дифференциальной геометрии обобщенных пространств. Её развитие происходит в основном в двух направлениях:
1) строятся различные обобщения богатой результатами теори двумерных сетей [37] ;
2) даются новые способы построения сетей, учитывающие специфику многомерной геометрии.
М.А.Акивис [2] изучил строение сопряженных систем общего типа на многомерных поверхностях Уг -мерного аффинного пространства и получил достаточные условия слабой и сильной голоном-ности и сильной сопряженности сопряженной системы, рассматривал [3] тангенциально невырожденную поверхность /^ проективного пространства Р^ , несущую сеть сопряженных линий, соприкасающаяся плоскость которой совпадала со всем пространством Рп , при условии, что . Для этой поверхности было
построено инвариантное оснащение, внутренним образом связанное с сопряженной сетью.
А.В.Столяров [ 26 ] построил инвариантное оснащение гиперповерхности проективного пространства Р^ , на которой была фиксирована сеть сопряженных линий, изучил [27] двойственные геометрические образы - псевдофокусы и гармонические полюсы второго рода, гармонические прямые - порождаемые сетью на гиперповерхности /п_^ проективного ух -мерного пространства Рп. и доказал ряд теорем о специальных классах сетей
А.П.Гудзь [14] , [15] рассматривала на гиперповерхности , четырехмерного евклидова пространства Е
3-сопряженную систему относительно заданной сети , иссле-

довела 2-поверхность У^ ^ - которая выделяется на У3
вполне интегрируемым пфаффовым уравнением иУ - О , трижды ортогонально - сопряженные системы и ортогональные системы на У^
в Ец
Интересные результаты были получены М.К.Кузьминым [ 18 ] , [19] , который исследовал сети с определенным расположением
псевдофокусов касательных к линиям сети, а требования ортогональности сети были опущены. Такое обобщение позволило рассматривать обобщенные канонические сети и в аффинном пространстве.
В.А.Тихонов [29] доказал, что ступенчато-чебашевская сеть, на многомерной поверхности аффинного пространства, является сопряженной сетью, установил 1^0] ряд свойств обобщенной сту-пенчато-чебышевской сети в пространствах аффинной связности, изучил '[31*] плоские сети, присоединенные к гиперраспределениям (ут + 4 )-мерного аффинного пространства, когда каждая аффинная
-г*
нормаль (М , ) этого распределения несла п. различных
фокусов.
Двумерные сети линий на поверхностях Ъ п -мерного проективного пространства рассматривал В.С.Ленёв [ 21] , [ 22] , а в
пяти мерном евклидовом пространстве Е.К.Сельдюков [ 24] . Частные
случаи двумерных сетей (например, когда оси Грина и Чебышева сети совпадают и др.) изучил В.А.Камаев [17]
На 3-поверхности Д евклидова пространства Е ^ V сопряженные сети рассмотрел А.В.Абрамов [ I ] и нашел геометрические свойства поверхности Уз . В.А. Есин изучил сети на поверхностях коразмерности два [ 16]
Вангелдер [ 39] рассматривал многообразие 4= Сое):
; х в пятимерном проективном пространстве .
Многообразие в 5^ называется многообразием типа (I, I,

да и только тогда, когда
Са САь + ^ ^11 + « ^22
при условии 21 in = О

3. Рассмотрим случай, когда на подмногообразии ( М ) развертывающиеся подмногообразия фокального семейства прямых (МА^)
/■ 4 2. J .
высекают сеть линий (со , со ,и) и на подмногообразии Vj , з г з
сеть линий (со ,оо ,to ; является сетью линий кривизны относительно средней нормали [А_, 1Л] =[А_, А^] •
В системе уравнений (5.5) потребуем, чтобы:
1) при А =АЧ было: и/1 +0, иУ = и> =0.
Получаем:
(АМ^С, + CW = 0 , = 0j
N ^ » iO ^
2) при А = А г было: из Фи; со - со = U.
Получаем:
[ХМ ^2Z+ ^>2.2, ) 00 =0 J = @2,2 = Oj
3) при А = Аз было: слУ^О, со"1 = со =0.
Получаем:
(А mX+λ)w=0, С=С=0Обратно, пусть É - - О C i- + j'J . Тогда система уравнений (5.5) принимает вид:
им'С
СамЧй +6A)wl
=0 ,
CAM-C+t,1,)«»
Отсюда: л
I) иУфО^ иУ- иУ = О, при А=А^
л№